《2026年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第一册人教版》

三、直接法求轨迹方程
[探究导思]
问题2 直接法求轨迹方程的步骤有哪些？

答案： 探究导思
问题2　提示　建系、设点列式、化简检验.

【例3】 (链接教材P109练习4原题)已知$ A,B $两点的坐标分别是$ (-1,0) $，$ (1,0) $，直线$ AM,BM $相交于$ M $，且直线$ AM $的斜率与直线$ BM $的斜率的商是2，点$ M $的轨迹是什么？

答案： [例3]　[解]　设点M的坐标为$(x,y)$，由已知$k_{AM}=\frac{y}{x + 1}(x \neq -1)$，$k_{BM}=\frac{y}{x - 1}(x \neq 1)$.
又由题意$\frac{k_{AM}}{k_{BM}} = 2$，所以$\frac{\frac{y}{x + 1}}{\frac{y}{x - 1}} = 2(x \neq \pm 1,y \neq 0)$.
化简得$x = -3(y \neq 0)$，因此，点M的轨迹是直线$x = -3$，并去掉点$(-3,0)$.

3. 已知$ A(2,1) $，$ B(2,-1) $，$ O $为坐标原点，动点$ P(x,y) $满足$ \overrightarrow{OP} = m\overrightarrow{OA} + n\overrightarrow{OB} $，其中$ m,n \in \mathbf{R} $，且$ m^2 + n^2 = \frac{1}{2} $，则动点$ P $的轨迹方程是。

答案： 3. 已知$ A(2,1) $，$ B(2,-1) $，$ O $为坐标原点，动点$ P(x,y) $满足$ \overrightarrow{OP} = m\overrightarrow{OA} + n\overrightarrow{OB} $，其中$ m,n \in \mathbf{R} $，且$ m^2 + n^2 = \frac{1}{2} $，则动点$ P $的轨迹方程是$\boldsymbol{$

$\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$

$}$。
解析：设动点$P(x,y)$，$\because$点P满足$\overrightarrow{OP}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$，其中$m,n \in R$，$\therefore (x,y)=(2m + 2n,m - n)$，$\therefore x = 2m + 2n,y = m - n$，$\therefore m=\frac{x + 2y}{4},n=\frac{x - 2y}{4}$.
$\because m^{2}+n^{2}=\frac{1}{2}$，$\therefore (\frac{x + 2y}{4})^{2}+(\frac{x - 2y}{4})^{2}=\frac{1}{2}$，即$\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$.
答案:$\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$

1. 平面内一点$ M $到两定点$ F_1(0,-3) $，$ F_2(0,3) $的距离之和为10，则$ M $的轨迹方程是 ()

A.$ \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1 $
B.$ \frac{y^2}{25} + \frac{x^2}{16} = 1 $
C.$ \frac{y^2}{25} - \frac{x^2}{16} = 1 $
D.$ \frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{16} = 1 $

答案： 1. 平面内一点$ M $到两定点$ F_1(0,-3) $，$ F_2(0,3) $的距离之和为10，则$ M $的轨迹方程是 (

B

)
A. $ \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1 $
B. $ \frac{y^2}{25} + \frac{x^2}{16} = 1 $
C. $ \frac{y^2}{25} - \frac{x^2}{16} = 1 $
D. $ \frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{16} = 1 $
1. B 平面内一点M到两定点$F_{1}(0,-3),F_{2}(0,3)$的距离之和为$10＞6$，所以M的轨迹满足椭圆的定义，是椭圆，且$a = 5,c = 3$，则$b = 4$，椭圆的焦点在y轴上，所以椭圆的方程为$\frac{y^{2}}{25}+\frac{x^{2}}{16}=1$.

2. 设$ P(x,y) $满足$ \sqrt{x^2 + (y + 2)^2} + \sqrt{x^2 + (y - 2)^2} = 5 $，则$ P $点的轨迹为 ()

A.圆
B.椭圆
C.线段
D.不存在

答案： 2. 设$ P(x,y) $满足$ \sqrt{x^2 + (y + 2)^2} + \sqrt{x^2 + (y - 2)^2} = 5 $，则$ P $点的轨迹为 (

B

)
A. 圆
B. 椭圆
C. 线段
D. 不存在
2. B $\sqrt{x^{2}+(y + 2)^{2}}+\sqrt{x^{2}+(y - 2)^{2}} = 5$表示点$P(x,y)$到定点$F_{1}(0,-2),F_{2}(0,2)$的距离之和为5，即$\vert PF_{1}\vert+\vert PF_{2}\vert = 5＞\vert F_{1}F_{2}\vert = 4$，$\therefore$P点的轨迹为椭圆.

3. 到$ A(2,-3) $和$ B(4,-1) $的距离相等的点的轨迹方程是。

答案： 3. 到$ A(2,1) $和$ B(2,-1) $的距离相等的点的轨迹方程是$\boldsymbol{$

$x + y - 1 = 0$

$}$。
解析：由点P满足$\vert PA \vert=\vert PB \vert$，可知点P的轨迹为点A(2,−3)和B(4,−1)的垂直平分线.
$\therefore$由中点坐标公式得AB的中点为(3,−2)，$k_{AB}=\frac{−1 + 3}{4 - 2}=1$，$\therefore$其垂直平分线的斜率为−1.
$\therefore$点P的轨迹方程是$y + 2 = -(x - 3)$，即$x + y - 1 = 0$.
答案:$x + y - 1 = 0$

4. 动点$ M(x,y) $与定点$ F(4,0) $的距离和$ M $到定直线$ l:x = \frac{25}{4} $的距离的比是常数$ \frac{4}{5} $，则动点$ M $的轨迹方程是_。

答案： 4. 动点$ M(x,y) $与定点$ F(4,0) $的距离和$ M $到定直线$ l:x = \frac{25}{4} $的距离的比是常数$ \frac{4}{5} $，则动点$ M $的轨迹方程是$\boldsymbol{$

$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$

$}$。
解析：因为动点M(x,y)与定点$F(4,0)$的距离和M到定直线$l:x = \frac{25}{4}$的距离的比是常数$\frac{4}{5}$，所以$\frac{\sqrt{(x - 4)^{2}+y^{2}}}{\vert x - \frac{25}{4}\vert}=\frac{4}{5}$，即$25[(x - 4)^{2}+y^{2}] = 16(x - \frac{25}{4})^{2}$，整理可得$9x^{2}+25y^{2}=225$，即$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$.
答案:$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$