《2026年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第一册人教版》

一、空间向量共线的充要条件
［探究导思］
问题1 平面向量共线的充要条件是什么？它适用于空间向量吗？

答案： 提示 对任意两个平面向量$\boldsymbol{a}$,$\boldsymbol{b}(\boldsymbol{b}\neq0)$,$\boldsymbol{a} // \boldsymbol{b}$的充要条件是存在实数$\lambda$,使$\boldsymbol{a}=\lambda\boldsymbol{b}$,由于空间向量共线的定义与平面向量相同，因此也适用于空间向量.

［梳理导学］
1. 对任意两个空间向量$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}(\boldsymbol{b} \neq \boldsymbol{0})$，$\boldsymbol{a} // \boldsymbol{b}$的充要条件是存在实数$\lambda$，使_.
2.如图，$O$是直线$l$上一点，在直线$l$上取非零向量$\boldsymbol{a}$，则对于直线$l$上任意一点$P$，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数$\lambda$，使得$\overrightarrow{OP} = \lambda \boldsymbol{a}$，把与向量$\boldsymbol{a}$平行的非零向量称为直线$l$的_，直线$l$上任意一点都可以由直线$l$上的一点和它的方向向量表示.

答案： 1.$\boldsymbol{a}=\lambda\boldsymbol{b}$
2.方向向量

【例1】 (1) 已知$A,B,C$三点共线，$O$为直线外空间任意一点，若$\overrightarrow{OC} = m\overrightarrow{OA} +$$n\overrightarrow{OB}$，则m+n=_.
(2) 如图，四边形$ABCD$和$ABEF$都是平行四边形，且不共面，$M,N$分别是$AC,BF$的中点，则$\overrightarrow{CE}$与$\overrightarrow{MN}$是否共线？

答案：
(1)【解析】 由于$A$,$B$,$C$三点共线，所以存在实数$\lambda$,使得$\overrightarrow{AC}=\lambda\overrightarrow{AB}$,即$\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}=\lambda(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})$,
所以$\overrightarrow{OC}=(1 - \lambda)\overrightarrow{OA}+\lambda\overrightarrow{OB}$,
所以$m = 1 - \lambda$,$n = \lambda$,
所以$m + n = 1$.
【答案】 1
(2)【解】 方法一:$\because M$,$N$分别是$AC$,$BF$的中点，且四边形$ABCD$和$ABEF$都是平行四边形，
$\therefore \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{FN}$
$=\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AF}+\frac{1}{2}\overrightarrow{FB}$.①
又$\because \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{BN}$
$=-\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CE}-\frac{1}{2}\overrightarrow{FB}$,②
①+②得$2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{CE}$,
$\therefore \overrightarrow{CE} // \overrightarrow{MN}$,即$\overrightarrow{CE}$与$\overrightarrow{MN}$共线.
方法二:$\because M$,$N$分别是$AC$,$BF$的中点，且四边形$ABCD$和$ABEF$都是平行四边形，
$\therefore \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AF})-\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$
$=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AF})-\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})$
$=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AD})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BE}-\overrightarrow{BC})=\frac{1}{2}\overrightarrow{CE}$.
$\therefore \overrightarrow{MN} // \overrightarrow{CE}$,即$\overrightarrow{MN}$与$\overrightarrow{CE}$共线.

1. (1) 若$P,A,B,C$为空间四点，且有$\overrightarrow{PA} = \alpha \overrightarrow{PB} + \beta \overrightarrow{PC}$，则$\alpha + \beta = 1$是$A,B,C$三点共线的(C)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案：
(1)$C$ 充分性：若$\alpha + \beta = 1$,则$\overrightarrow{PA}-\overrightarrow{PB}=\beta(\overrightarrow{PC}-\overrightarrow{PB})$,即$\overrightarrow{BA}=\beta\overrightarrow{BC}$,显然，$A$,$B$,$C$三点共线；必要性：若$A$,$B$,$C$三点共线，则有$\overrightarrow{AB}=\lambda\overrightarrow{BC}$,故$\overrightarrow{PB}-\overrightarrow{PA}=\lambda(\overrightarrow{PC}-\overrightarrow{PB})$,整理得$\overrightarrow{PA}=(1 + \lambda)\overrightarrow{PB}-\lambda\overrightarrow{PC}$,令$\alpha = 1 + \lambda$,$\beta = -\lambda$,则$\alpha + \beta = 1$.故$\alpha + \beta = 1$是$A$,$B$,$C$三点共线的充要条件.