《2026年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第一册人教版》

一、两点之间的距离公式
[探究导思]
问题1 在数轴上已知两点$ A,B $，如何求$ A,B $
两点间的距离？
问题2 已知平面内两点$ P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2) $，
怎样求这两点间的距离$ |P_1P_2| $？

答案：
问题 1 提示 $ |AB| = |x_A - x_B| $。
问题 2 提示
(1)当 $ P_1P_2 $ 与 $ x $ 轴平行时，
(1) $ |P_{1}P_{2}| = |x_{2} - x_{1}| $；
(2) 当 $ P_{1}P_{2} $ 与 $ y $ 轴平行时，$ |P_{1}P_{2}| = |y_{2} - y_{1}| $；
(3) 当 $ P_{1}P_{2} $ 与坐标轴不平行时，如图，在 $ Rt\triangle P_{1}QP_{2} $ 中，$ |P_{1}P_{2}|^{2} = |P_{1}Q|^{2} + |QP_{2}|^{2} $，

所以$|P_{1}P_{2}|=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$.
即两点$P_{1}(x_{1},y_{1})$，$P_{2}(x_{2},y_{2})$间的距离$|P_{1}P_{2}|=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$.

【例1】 已知$ \triangle ABC $的三个顶点$ A(-3,1),B(3, $
$ -3),C(1,7) $，试判断$ \triangle ABC $的形状.

答案： 【解】 方法一：$\because\vert AB\vert=\sqrt{(3 + 3)^2+(-3 - 1)^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$，
$\vert AC\vert=\sqrt{(1 + 3)^2+(7 - 1)^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$，
又$\vert BC\vert=\sqrt{(1 - 3)^2+(7 + 3)^2}=\sqrt{104}=2\sqrt{26}$，
$\therefore\vert AB\vert^2+\vert AC\vert^2=\vert BC\vert^2$，且$\vert AB\vert=\vert AC\vert$，
$\therefore\triangle ABC$是等腰直角三角形．
方法二：$\because k_{AC}=\frac{7 - 1}{1 - (-3)}=\frac{3}{2}$，$k_{AB}=\frac{-3 - 1}{3 - (-3)}=-\frac{2}{3}$，
$\therefore k_{AC}· k_{AB}=-1$，
$\therefore AC\perp AB$．
又$\vert AC\vert=\sqrt{(1 + 3)^2+(7 - 1)^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$，
$\vert AB\vert=\sqrt{(3 + 3)^2+(-3 - 1)^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$，
$\therefore\vert AC\vert=\vert AB\vert$，
$\therefore\triangle ABC$是等腰直角三角形．

1.(1)已知点$ P_1(4,2),P_2(2,-2) $，则$ |P_1P_2| = $
_ .

答案： 1.
(1)解析：$\vert P_1P_2\vert=\sqrt{(4 - 2)^2+(2 + 2)^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$．
答案：$2\sqrt{5}$

(2)若点$ M $到$ x $轴和到点$ N(-4,2) $的距离都等
于10，则点$ M $的坐标为 (2,10)或(-10,10) .

答案：
(2)解析：由点$M$到$x$轴的距离等于$10$可知，其纵坐标为$\pm10$．
设点$M$的坐标为$(x_M,\pm10)$．
由两点间距离公式，得
$\vert MN\vert=\sqrt{(x_M + 4)^2+(10 - 2)^2}=10$或
$\vert MN\vert=\sqrt{(x_M + 4)^2+(-10 - 2)^2}=10$（舍），
解得$x_M=-10$或$x_M=2$，
所以点$M$的坐标为$(2,10)$或$(-10,10)$．
答案：$(2,10)$或$(-10,10)$

【例2】 已知点$ A(a,3) $和$ B(3,3a + 3) $间的距离为5，求$ a $的值.

答案： 【解】 $\because$点$A(a,3)$和$B(3,3a + 3)$间的距离为$5$，
$\therefore\sqrt{(a - 3)^2+(3 - 3a - 3)^2}=5$，
即$5a^2 - 3a - 8 = 0$，解得$a=-1$或$a=\frac{8}{5}$．