《2026年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第一册人教版》

一、求直线的点斜式方程
[探究导思]
问题1 过点$ P_0(x_0,y_0) $的直线在平面内有多少条？过点$ P_0(x_0,y_0) $且斜率为$ k $的直线有多少条？由此得到什么结论？

答案： 探究导思
问题1 提示 无数条和一条，结论是：平面内一个点和斜率确定一条直线.

[梳理导学]
我们把方程$\boldsymbol{y$ - y_0 = k(x - x_0)$- y_0 = k(x - x_0)}$称为过点$ P_0(x_0,y_0) $,斜率为$ k $的直线$ l $的方程.
方程$ y - y_0 = k(x - x_0) $由直线上一个定点$ (x_0,y_0) $及该直线的斜率$$k$k $确定,我们把它叫做直线的$\boldsymbol{点斜式方程}$,简称点斜式.

答案： 梳理导学
$y - y_0 = k(x - x_0)$ 点斜式方程

【例1】 根据条件写出下列直线的点斜式方程：
(1)经过点$ A(-4,3) $,斜率$ k = 3 $;
(2)经过点$ B(-1,4) $,倾斜角为$ 135° $.

答案： 典题导练
【例1】【解】
(1)由点斜式方程可知，所求直线的点斜式方程为$y - 3 = 3(x + 4)$.
(2)由题意知，直线的斜率$k = \tan 135° = -1$，故所求直线的点斜式方程为$y - 4 = -(x + 1)$.

1. (1)在平面直角坐标系中,下列三个结论：
①每一条直线都有点斜式方程；
②方程$ k = \frac{y + 1}{x - 2} $与方程$ y + 1 = k(x - 2) $可表示同一条直线；
③直线$ l $过点$ P_0(x_0,y_0) $,倾斜角为$ 90° $,则其方程为$ x = x_0 $.
其中正确结论的序号为③.
(2)经过点$ P(2,-3) $,且倾斜角为$ 45° $的点斜式直线方程为y + 3 = x - 2.

答案： 跟踪训练
1.
(1)解析：直线的点斜式方程不能表示斜率不存在的直线，所以①错误.
点$(2, -1)$不在方程$k = \frac{y + 1}{x - 2}$所表示的直线上，所以②错误.③显然正确.
答案：③
(2)解析：倾斜角为$45°$的直线的斜率为$\tan 45° = 1$，
又该直线经过点$P(2, -3)$，
所以用直线的点斜式求得直线的方程为$y + 3 = x - 2$.
答案：$y + 3 = x - 2$