《2026年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第一册人教版》

4.（链接教材$P10$拓广探索$9$）
如图，在空间四边形$OACB$中，$OB = OC$，$AB = AC$，求证：$OA\perp BC$.

答案： 证明：因为$OB = OC$，
$AB = AC$，$OA = OA$，
所以$\triangle OAC\cong\triangle OAB$，
所以$\angle AOC=\angle AOB$.
又$\overrightarrow{OA}·\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OA}·(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB})=\overrightarrow{OA}·\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}·\overrightarrow{OB}=|\overrightarrow{OA}|·|\overrightarrow{OC}|\cos\angle AOC-|\overrightarrow{OA}|·|\overrightarrow{OB}|\cos\angle AOB = 0$，
所以$\overrightarrow{OA}\perp\overrightarrow{BC}$，即$OA\perp BC$.

1.(多选)如图所示，在正方体$ABCD - A_1B_1C_1D_1$中，下列各组向量的夹角为$45°$的是(AD)


A.$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{A_1C_1}$
B.$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{C_1A_1}$
C.$\overrightarrow{BC}$与$\overrightarrow{C_1B}$
D.$\overrightarrow{BC}$与$\overrightarrow{AD_1}$

答案： AD 选项A，D中的向量的夹角为$45^{\circ}$，选项B，C中的向
量的夹角为$135^{\circ}$。

2. 已知向量$\boldsymbol{i},\boldsymbol{j},\boldsymbol{k}$是一组单位向量，且两两垂直. 若$\boldsymbol{m}=8\boldsymbol{j}+3\boldsymbol{k}$，$\boldsymbol{n}=-\boldsymbol{i}+5\boldsymbol{j}-4\boldsymbol{k}$，则$\boldsymbol{m}·\boldsymbol{n}$的值为(C)

A.$7$
B.$-20$
C.$28$
D.$11$

答案： C 因为向量$\boldsymbol{i},\boldsymbol{j},\boldsymbol{k}$是一组单位向量，且两两垂直，所以$|\boldsymbol{i}| = |\boldsymbol{j}| = |\boldsymbol{k}| = 1$且$\boldsymbol{i}·\boldsymbol{j}=\boldsymbol{j}·\boldsymbol{k}=\boldsymbol{i}·\boldsymbol{k}=0$.
因为$\boldsymbol{m}=8\boldsymbol{j}+3\boldsymbol{k}$，$\boldsymbol{n}=-\boldsymbol{i}+5\boldsymbol{j}-4\boldsymbol{k}$，
所以$\boldsymbol{m}·\boldsymbol{n}=(8\boldsymbol{j}+3\boldsymbol{k})·(-\boldsymbol{i}+5\boldsymbol{j}-4\boldsymbol{k})=40|\boldsymbol{j}|^{2}-12|\boldsymbol{k}|^{2}=40 - 12 = 28$.

3.(多选)如图所示，已知空间四边形每条边和对角线长都为$a$，点$E$，$F$，$G$分别是$AB$，$AD$，$DC$的中点，则下列向量的数量积等于$a^2$的是(BC)


A.$2\overrightarrow{BA}·\overrightarrow{AC}$
B.$2\overrightarrow{AD}·\overrightarrow{BD}$
C.$2\overrightarrow{FG}·\overrightarrow{AC}$
D.$2\overrightarrow{EF}·\overrightarrow{CB}$

答案： BC 对于A，$2\overrightarrow{BA}·\overrightarrow{AC}=2a^{2}\cos120^{\circ}=-a^{2}$，A错误；
对于B，$2\overrightarrow{AD}·\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{DA}·\overrightarrow{DB}=2a^{2}\cos60^{\circ}=a^{2}$，
B正确；
对于C，$2\overrightarrow{FG}·\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC}·\overrightarrow{AC}=a^{2}$，C正确；
对于D，$2\overrightarrow{EF}·\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{BD}·\overrightarrow{CB}=-\overrightarrow{BD}·\overrightarrow{BC}=-\frac{1}{2}a^{2}$，
D错误.

4. 如图，在长方体$ABCD - A_1B_1C_1D_1$中，设$AD = AA_1 = 1$，$AB = 2$，$P$是$C_1D_1$的中点，则$B_1C$与$A_1P$所成角的大小为60°，$\overrightarrow {B_{1}C}· \overrightarrow {A_{1}P}=$1.

答案： 解析：方法一：连接$A_{1}D$(图略)，
则$\angle PA_{1}D$就是$\overrightarrow{B_{1}C}$与$\overrightarrow{A_{1}P}$所成的角，连接$PD$，
在$\triangle PA_{1}D$中，易得$PA_{1}=DA_{1}=PD=\sqrt{2}$，
即$\triangle PA_{1}D$为等边三角形，从而$\angle PA_{1}D = 60^{\circ}$，
因此$\overrightarrow{B_{1}C}·\overrightarrow{A_{1}P}=\sqrt{2}×\sqrt{2}×\cos60^{\circ}=1$.
方法二：根据向量的线性运算可得
$\overrightarrow{B_{1}C}·\overrightarrow{A_{1}P}=(\overrightarrow{A_{1}A}+\overrightarrow{AD})·(\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB})=\overrightarrow{AD}^{2}=1$.
由题意可得$PA_{1}=B_{1}C=\sqrt{2}$，
则$\sqrt{2}×\sqrt{2}×\cos\langle\overrightarrow{B_{1}C},\overrightarrow{A_{1}P}\rangle=1$，
从而$\langle\overrightarrow{B_{1}C},\overrightarrow{A_{1}P}\rangle=60^{\circ}$.
答案：$60^{\circ}$ 1