《2026年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第一册人教版》

2.已知$ A(a,2),B(-2,-3),C(1,6) $三点，且$ |AB| $
$ = |AC| $，则实数$ a $的值为$ \boldsymbol{(\quad)} $

A.$-2$
B.$-1$
C.$1$
D.$2$

答案： 2.A 由两点间的距离公式及$\vert AB\vert=\vert AC\vert$得，
$\sqrt{(a + 2)^2+(2 + 3)^2}=\sqrt{(a - 1)^2+(2 - 6)^2}$，解得$a=-2$．

【例3】 如图，在$ \triangle ABC $中，$ |AB| $
$ = |AC| $，$ D $是$ BC $边上异于$ B,C $
的任意一点，求证：$ |AB|^2 = |AD|^2 $
$ + |BD| · |DC| $.

答案：
【证明】 如图，以$BC$的中点为原点$O$，$BC$所在的直线为$x$轴，建立直角坐标系．设$A(0,a)$，$B(-b,0)$，$C(b,0)$，$D(m,0)(-b\lt m\lt b)$．

则$\vert AB\vert^2=(-b - 0)^2+(0 - a)^2=a^2 + b^2$，$\vert AD\vert^2=(m - 0)^2+(0 - a)^2=m^2 + a^2$，
$\vert BD\vert·\vert DC\vert=\vert m + b\vert·\vert b - m\vert=(b + m)(b - m)=b^2 - m^2$，$\therefore\vert AD\vert^2+\vert BD\vert·\vert DC\vert=a^2 + b^2$，
$\therefore\vert AB\vert^2=\vert AD\vert^2+\vert BD\vert·\vert DC\vert$．

3.已知在等腰梯形$ ABCD $中，$ AB // DC $，对角线为
$ AC $和$ BD $.求证：$ |AC| = |BD| $.

答案：
3.证明：如图所示，建立平面直角坐标系，设$A(0,0)$，$B(a,0)$，$C(b,c)$，

则点$D$的坐标是$(a - b,c)$．
$\therefore\vert AC\vert=\sqrt{(b - 0)^2+(c - 0)^2}=\sqrt{b^2 + c^2}$，
$\vert BD\vert=\sqrt{(a - b - a)^2+(c - 0)^2}=\sqrt{b^2 + c^2}$．
故$\vert AC\vert=\vert BD\vert$．

1.若$ A(-1,0),B(5,6),C(3,4) $，则$ \frac{|AC|}{|CB|} $等于 $ \boldsymbol{(\quad)} $

A.$ \frac{1}{3} $
B.$ \frac{1}{2} $
C.$ 3 $
D.$ 2 $

答案： 1.D $\vert AC\vert=4\sqrt{2}$，$\vert CB\vert=2\sqrt{2}$，故$\frac{\vert AC\vert}{\vert CB\vert}=2$．

2.已知$ \triangle ABC $的顶点$ A(2,3),B(-1,0),C(2,0) $，
则$ \triangle ABC $的周长是 $ \boldsymbol{(\quad)} $

A.$ 2\sqrt{3} $
B.$ 3 + 2\sqrt{3} $
C.$ 6 + 3\sqrt{2} $
D.$ 6 + \sqrt{10} $

答案： 2.C 由两点间距离公式得
$\vert AB\vert=\sqrt{(2 + 1)^2+(3 - 0)^2}=3\sqrt{2}$，
$\vert BC\vert=\sqrt{(-1 - 2)^2+(0 - 0)^2}=3$，
$\vert CA\vert=\sqrt{(2 - 2)^2+(3 - 0)^2}=3$．
故$\triangle ABC$的周长为$6 + 3\sqrt{2}$．

3.$ \triangle ABC $三个顶点的坐标分别为$ A(-4,-4) $，
$ B(2,2),C(4,-2) $，则三角形$ AB $边上的中线
长为 $ \boldsymbol{(\quad)} $

A.$ \sqrt{26} $
B.$ \sqrt{65} $
C.$ \sqrt{29} $
D.$ \sqrt{13} $

答案： 3.A $AB$的中点$D$的坐标为$D(-1,-1)$，
$\therefore\vert CD\vert=\sqrt{(-1 - 4)^2+(-1 + 2)^2}=\sqrt{26}$．

4.在平面直角坐标系$ Oxy $中，已知直线$ l:x + y + $
$ a = 0 $与点$ A(2,0) $，若直线$ l $上存在点$ M $满足
$ |MA| = 2|MO| $($ O $为坐标原点)，则实数$ a $的
取值范围是 _ .

答案： 4.解析：设$M(x,-x - a)$，
由$\vert MA\vert=2\vert MO\vert$，得$(x - 2)^2+(-x - a)^2=4x^2 + 4(-x - a)^2$，
整理，得$6x^2+(6a + 4)x + 3a^2 - 4 = 0$，
由$\Delta\geq0$得$9a^2 - 12a - 28\leq0$，
解得$\frac{2 - 4\sqrt{2}}{3}\leq a\leq\frac{2 + 4\sqrt{2}}{3}$，
故$a$的取值范围为$[\frac{2 - 4\sqrt{2}}{3},\frac{2 + 4\sqrt{2}}{3}]$．
答案：$[\frac{2 - 4\sqrt{2}}{3},\frac{2 + 4\sqrt{2}}{3}]$