《2026年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第一册人教版》

一、两条平行直线间的距离
[探究导思]
问题1 已知两条平行直线$ l_1, l_2 $的方程，如何求$ l_1 $与$ l_2 $间的距离？
问题2 怎样求两条平行直线$ Ax + By + C_1 = 0 $与$ Ax + By + C_2 = 0 $间的距离？

答案： 探究导思
问题1 提示 根据两条平行直线间距离的含义，在直线$l_1$上取任一点$P(x_0,y_0)$，点$P(x_0,y_0)$到直线$l_2$的距离就是直线$l_1$与直线$l_2$间的距离，这样求两条平行直线间的距离就转化为求点到直线的距离．
问题2 提示 在直线$Ax + By + C_1 = 0$上任取一点$P(x_0,y_0)$，点$P(x_0,y_0)$到直线$Ax + By + C_2 = 0$的距离，就是这两条平行直线间的距离即$d = \frac{\vert Ax_0 + By_0 + C_2\vert}{\sqrt{A^2 + B^2}}$
因为点$P(x_0,y_0)$在直线$Ax + By + C_1 = 0$上，
所以$Ax_0 + By_0 + C_1 = 0$，
即$Ax_0 + By_0 = -C_1$，
因此$d = \frac{\vert Ax_0 + By_0 + C_2\vert}{\sqrt{A^2 + B^2}} = \frac{\vert -C_1 + C_2\vert}{\sqrt{A^2 + B^2}} = \frac{\vert C_1 - C_2\vert}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

[梳理导学]
1. 两条平行直线间的距离：指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长.

答案： 梳理导学
公垂线段

【例1】 (1) 已知两条直线$ l_1: 2x - 4y + 7 = 0 $，$ l_2: x - 2y + 5 = 0 $。求$ l_1, l_2 $间的距离。
(2) 若倾斜角为$ 45° $的直线$ m $被直线$ l_1: x + y - 1 = 0 $与$ l_2: x + y - 3 = 0 $所截得的线段为$ AB $，则$ AB $的长为(B)
A. $ 1 $
B. $ \sqrt{2} $
C. $ \sqrt{3} $
D. $ 2 $

答案： 【例1】
(1)【解】 $l_1:2x - 4y + 7 = 0$即$x - 2y + \frac{7}{2} = 0$，
所以$l_1$，$l_2$间的距离为
$d = \frac{\vert 5 - \frac{7}{2}\vert}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{10}$
(2)【解析】 由题意，可得直线$m$与直线$l_1$，$l_2$垂直，则由两平行线间的距离公式，
得$\vert AB\vert = \frac{\vert -1 + 3\vert}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \sqrt{2}$
【答案】 B

1. (1) 已知直线$ 5x + 12y - 3 = 0 $与直线$ 10x + my + 20 = 0 $平行，则它们之间的距离是(A)

A.$ 1 $
B.$ 2 $
C.$ \frac{1}{2} $
D.$ 4 $

答案： 1.
(1)A 由两条直线平行可得$\frac{5}{10} = \frac{12}{m}(m \neq 0)$，解得$m = 24$．
则直线$10x + 24y + 20 = 0$，即$5x + 12y + 10 = 0$，
由两条平行直线间的距离公式得$d = \frac{\vert -3 - 10\vert}{\sqrt{5^2 + 12^2}} = 1$．

(2) 分别过点$ A(-2, 1) $和点$ B(3, -5) $的两条直线均垂直于$ x $轴，则这两条直线间的距离是5。

答案：
(2)解析：两直线方程分别是$x = -2$和$x = 3$，
故两条直线间的距离$d = \vert -2 - 3\vert = 5$．
答案：5

【例2】 已知直线$ l $与直线$ l_1: 2x - y + 3 = 0 $和$ l_2: 2x - y - 1 = 0 $的距离相等，则$ l $的方程是$2x - y + 1 = 0$。

答案： 【例2】 【解析】 方法一：由题意可设$l$的方程为$2x - y + c = 0$，
于是有$\frac{\vert c - 3\vert}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{\vert c - (-1)\vert}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}}$
即$\vert c - 3\vert = \vert c + 1\vert$，解得$c = 1$，
则直线$l$的方程为$2x - y + 1 = 0$．
方法二：由题意知$l$必介于$l_1$与$l_2$中间，
故设$l$的方程为$2x - y + c = 0$，
则$c = \frac{3 + (-1)}{2} = 1$．
则直线$l$的方程为$2x - y + 1 = 0$．
【答案】 $2x - y + 1 = 0$

2. (1)(多选)若直线$ x - 2y - 1 = 0 $与直线$ x - 2y - c = 0 $的距离为$ 2\sqrt{5} $，则实数$ c $的值为(BC)

A.$ 9 $
B.$ -9 $
C.$ 11 $
D.$ -11 $

答案： 2.
(1)BC $\because$直线$x - 2y - 1 = 0$与直线$x - 2y - c = 0$的距离为$2\sqrt{5}$，
$\therefore \frac{\vert -1 + c\vert}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{5}$，
解得$c = 11$或$c = -9$．

(2) 已知两条平行直线$ l_1: 3x + 4y + 5 = 0 $，$ l_2: 6x + by + c = 0 $间的距离为$ 3 $，则$ b + c $等于(D)

A.$ -12 $
B.$ 48 $
C.$ 36 $
D.$ -12 $或$ 48 $

答案：
(2)D 将$l_1:3x + 4y + 5 = 0$改写为$6x + 8y + 10 = 0$，因为两条直线平行，所以$b = 8$．
由$\frac{\vert 10 - c\vert}{\sqrt{6^2 + 8^2}} = 3$，解得$c = -20$或$c = 40$，
所以$b + c = -12$或$48$．