《2026年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第一册人教版》

一、空间中点的向量和直线的向量表示
[探究导思]
问题1 在空间中，如何用向量表示空间中的一个点？
问题2 空间中给定一个点$ A $和一个方向就能唯一确定一条直线$ l $.如何用向量表示直线$ l $？

答案：
问题1 提示 在空间中，我们取一定点$O$作为基点，那么空间中任意一点$P$就可以用向量$\overrightarrow{OP}$来表示，我们把向量$\overrightarrow{OP}$称为点$P$的位置向量.
问题2 提示 如图1，$a$是直线$l$的方向向量，在直线$l$上取$\overrightarrow{AB}=a$，设$P$是直线$l$上的任意一点，由向量共线的条件可知，点$P$在直线$l$上的充要条件是存在实数$t$，使得$\overrightarrow{AP}=ta$，即$\overrightarrow{AP}=t\overrightarrow{AB}$.如图2，取定空间中的任意一点$O$，可以得到点$P$在直线$l$上的充要条件是存在实数$t$，使$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+ta$，①
将$\overrightarrow{AB}=a$代入①式，得$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{AB}$.②
①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.
　

【例1】 (1)(多选)若$ M(1,0,-1) $，$ N(2,1,2) $在直线$ l $上，则下列可作为直线$ l $方向向量的是AB
A. $ (2,2,6) $
B. $ (1,1,3) $
C. $ (3,1,1) $
D. $ (-3,0,1) $
(2)设$ l_1 $的方向向量为$ \boldsymbol{a}=(1,2,-2) $，$ l_2 $的方向向量为$ \boldsymbol{b}=(-2,3,m) $，若$ l_1\perp l_2 $，则$ m $等于 B
A. $ 1 $
B. $ 2 $
C. $ \frac{1}{2} $
D. $ 3 $

答案： [例1]　
(1)[解析]　$\because \overrightarrow{MN}=(1,3,3)$，$M,N$在直线$l$上，$\therefore$向量$(1,3,3)$，$(2,2,6)$都可作为直线$l$的方向向量.
[答案]　AB
(2)[解析]　因为$l_1$的方向向量为$a=(1,2,-2)$，$l_2$的方向向量为$b=(-2,3,m)$，且$l_1\perp l_2$，所以$a\perp b$，所以$a· b=-2+6-2m=0$，解得$m=2$.
[答案]　B

1. (1)在如图所示的空间直角坐标系中，$ ABCD - A_1B_1C_1D_1 $为正方体，棱长为$ 1 $，则直线$ DD_1 $的一个方向向量为 $(0,0,1)$，直线$ BC_1 $的一个方向向量为 $(0,1,1)$.

答案： 1.
(1)解析：因为$DD_1// AA_1$，$\overrightarrow{AA_1}=(0,0,1)$，故直线$DD_1$的一个方向向量为$(0,0,1)$；因为$BC// AD_1$，$\overrightarrow{AD_1}=(0,1,1)$，故直线$BC_1$的一个方向向量为$(0,1,1)$.
答案：$(0,0,1)$ $(0,1,1)$(答案不唯一)