《2026年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第一册人教版》

2. (1) 若直线的倾斜角为$120^{\circ}$，则直线的斜率_x.

(2) 若过点$P(-2,m)$，$Q(m,4)$的直线的斜率为$1$，则$m$的值为1.
(3) 经过$M(0,3)$，$N(-1,0)$两点的直线的方向向量为$(1,k)$，求$k$的值.

答案： 解析：
(2)由斜率公式$k=\frac{4−m}{m+2}=1，$得m=1.
答案：$(1)−\sqrt{3} (2)1$
(3)解：直线MN的斜率$k_{MN}=\frac{3−0}{0−(−1)}=3，$
∵直线MN的方向向量为(1,k)，
∴k=3.

三、倾斜角和斜率的应用
[探究导思]
问题4 当直线的倾斜角由$0^{\circ}$逐渐增大到$180^{\circ}$，其斜率如何变化？

答案： 探究导思
问题4 提示 当倾斜角为锐角时，斜率为正，而且斜率随着倾斜角的增大而增大；当倾斜角为钝角时，斜率为负，而且斜率随着倾斜角的增大而增大.

[梳理导学]
1. 设直线的倾斜角为$\alpha$，斜率为$k$.

答案： $k＞0$；$k＜0$；增大；增大

2. 下面特殊角的正切值要熟记：

答案： -√3；-√3/3

【例3】 已知两点$A(-3,4)$，$B(3,2)$，过点$P(1,0)$的直线$l$与线段$AB$有公共点.
(1) 求直线$l$的斜率$k$的取值范围；
(2) 求直线$l$的倾斜角$\alpha$的取值范围.

答案：
[例3] [解] 如图，由题意可知$k_{PA}=\frac{4−0}{−3−1}=−1，$$k_{PB}=\frac{2−0}{3−1}=1，$
　　　　　　　　　
(1)要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是(−∞,−1]∪[1,+∞).
(2)由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°.

3. 已知点$P(-1,-1)$，另有两点$A(1,0)$，$B(0,1)$，若过点$P$的直线$l$与线段$AB$有交点，则直线$l$的斜率取值范围_x.

答案： 3. 解析：因为A(1,0)，B(0,1)，又过点P的直线l与线段AB有交点，所以直线l的斜率的取值范围为$[\frac{1}{2},2].$
答案：$[\frac{1}{2},2]$

1. (多选)下列说法正确的是 (ABC)

A.若$\alpha$是直线$l$的倾斜角，则$0^{\circ}\leqslant\alpha\lt180^{\circ}$
B.若$k$是直线的斜率，则$k\in\mathbf{R}$
C.任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
D.任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角

答案： 1.ABC 由直线的倾斜角和斜率的定义知，A、B、C正确，D错误. 故选ABC.

2. 若经过$A(m,3)$，$B(1,2)$两点的直线的倾斜角为$45^{\circ}$，则$m$等于 (A)

A.$2$
B.$1$
C.$-1$
D.$-2$

答案： 2.A 由题意知，$tan 45°=\frac{2−3}{1−m}=1，$得m=2.

3. 过点$A(-\sqrt{3},\sqrt{2})$与点$B(-\sqrt{2},\sqrt{3})$的直线的倾斜角为 (A)

A.$45^{\circ}$
B.$135^{\circ}$
C.$45^{\circ}$或$135^{\circ}$
D.$60^{\circ}$

答案： $3.A k_{AB}=\frac{\sqrt{3}−\sqrt{2}}{−\sqrt{2}−(−\sqrt{3})}=\frac{\sqrt{3}−\sqrt{2}}{\sqrt{3}−\sqrt{2}}=1，$故直线的倾斜角为45°.

4. 经过$A(m,3)$，$B(1,2)$两点的直线的倾斜角$\alpha$的取值范围是0°＜α≤90°.(其中$m\geqslant1$)

答案： 4. 解析：当m=1时，倾斜角α=90°；当m＞1时，$tan α=\frac{3−2}{m−1}＞0，$
∴0°＜α＜90°. 故0°＜α≤90°.
答案：0°＜α≤90°