《2026年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第一册人教版》

1. 圆$ (x - 1)^2 + (y + \sqrt{3})^2 = 1 $的圆心坐标是(C)

A.$ (1, \sqrt{3}) $
B.$ (-1, \sqrt{3}) $
C.$ (1, -\sqrt{3}) $
D.$ (-1, -\sqrt{3}) $

答案： 1.C由圆的标准方程$(x - 1)^2 + (y + \sqrt{3})^2=1$，
得圆心坐标为$(1,-\sqrt{3})$。

2. 已知圆$ E $经过三点$ A(0, 1) $，$ B(2, 0) $，$ C(0, -1) $，且圆心在$ x $轴的正半轴上，则圆$ E $的标准方程为(C)

A.$ \left(x - \frac{3}{2}\right)^2 + y^2 = \frac{25}{4} $
B.$ \left(x + \frac{3}{4}\right)^2 + y^2 = \frac{25}{16} $
C.$ \left(x - \frac{3}{4}\right)^2 + y^2 = \frac{25}{16} $
D.$ \left(x - \frac{3}{4}\right)^2 + y^2 = \frac{25}{4} $

答案： 2.C 因为圆$E$经过点$A(0,1)$，$B(2,0)$，
所以圆$E$的圆心在线段$AB$的垂直平分线$y-\frac{1}{2}=2(x - 1)$上。
又圆$E$的圆心在$x$轴的正半轴上，
所以圆$E$的圆心坐标为$(\frac{3}{4},0)$。
则圆$E$的半径为$|EB|=\sqrt{(2 - \frac{3}{4})^2 + (0 - 0)^2}=\frac{5}{4}$，所以圆$E$的标准方程为$(x - \frac{3}{4})^2 + y^2=\frac{25}{16}$。

3. 圆$ (x - 1)^2 + y^2 = 1 $的圆心到直线$ y = \frac{\sqrt{3}}{3}x $的距离是(A)

A.$ \frac{1}{2} $
B.$ \frac{\sqrt{3}}{2} $
C.$ 1 $
D.$ \sqrt{3} $

答案： 3.A 圆$(x - 1)^2 + y^2=1$的圆心坐标为$(1,0)$，所以圆心到直线$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$的距离为$d=\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{\sqrt{1 + (\frac{\sqrt{3}}{3})^2}}=\frac{1}{2}$。

4. 与圆$ (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16 $同圆心，且过点$ P(-1, 1) $的圆的标准方程为_.

答案： 4.解析：因为已知圆的圆心为$(2,-3)$，
所以所求圆的圆心为$(2,-3)$，
所以所求圆的半径为$\sqrt{(2 + 1)^2 + (-3 - 1)^2}=5$，
所以所求圆的标准方程为$(x - 2)^2 + (y + 3)^2=25$。
答案：$(x - 2)^2 + (y + 3)^2=25$

一、圆的一般方程的辨析
[探究导思]
问题1 如果方程$x^{2}+y^{2}+Dx + Ey + F = 0$能表示圆的方程,有什么条件？
问题2 当$D^{2}+E^{2}-4F = 0$时,方程$x^{2}+y^{2}+Dx + Ey + F = 0$表示什么图形？

答案： 问题1 提示 将方程$x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0$配方可得，$(x+\frac{D}{2})^{2}+(y+\frac{E}{2})^{2}=\frac{D^{2}+E^{2}-4F}{4}$，当$D^{2}+E^{2}-4F＞0$时，方程$x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0$表示圆.
问题2 提示 当$D^{2}+E^{2}-4F=0$时，方程$x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0$，表示一个点$(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2})$.

[梳理导学]
1. 圆的一般方程:当$D^{2}+E^{2}-4F＞0$时,二元二次方程叫做圆的一般方程.

答案： 1.$x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0$