《2026年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第一册人教版》

一、两条直线平行的判定
[探究导思]
问题1 在平面几何中,两条平行直线被第三条直线所截,形成的同位角、内错角、同旁内角有什么关系?
问题2 平面中的两条平行直线被$x$轴所截,形成同位角相等,而倾斜角是一对同位角,因此可以得出什么结论?
问题3 由正切函数的单调性,我们知道当$k_{1}=k_{2}$时有$\alpha_{1}=\alpha_{2}$,那么是否意味着$k_{1}=k_{2}$时,一定有$l_{1}// l_{2}$? 反过来呢?

答案： 问题1 提示 两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补.
问题2 提示 两直线平行，倾斜角相等.
问题3 提示 当 $k_1 = k_2$ 时，倾斜角 $\alpha_1 = \alpha_2$，两直线平行；而当两直线平行时，不一定有 $k_1 = k_2$，因为 $\alpha_1 = \alpha_2 = 90^{\circ}$ 时，斜率不存在.

[梳理导学]
对于斜率分别为$k_{1},k_{2}$的两条直线$l_{1},l_{2}$，有$l_{1}// l_{2}\Leftrightarrow$_

答案： $k_1 = k_2$

【例1】 判断下列各题中的直线$l_{1}$与$l_{2}$是否平行:
(1)$l_{1}$经过点$A(-1,-2),B(2,1)$,$l_{2}$经过点$M(3,4),N(-1,-1)$;
(2)$l_{1}$的斜率为$1$,$l_{2}$经过点$A(1,1),B(2,2)$;
(3)$l_{1}$经过点$A(0,1),B(1,0)$,$l_{2}$经过点$M(-1,3),N(2,0)$;
(4)$l_{1}$经过点$A(-3,2),B(-3,10)$,$l_{2}$经过点$M(5,-2),N(5,5)$.

答案： 【解】
(1) $k_1 = \frac{1 - (-2)}{2 - (-1)} = 1$, $k_2 = \frac{-1 - 4}{-1 - 3} = \frac{5}{4}$, $k_1 \neq k_2$, $l_1$ 与 $l_2$ 不平行.
(2) $k_1 = 1$, $k_2 = \frac{2 - 1}{2 - 1} = 1$, $k_1 = k_2$, 故 $l_1 // l_2$ 或 $l_1$ 与 $l_2$ 重合.
(3) $k_1 = \frac{0 - 1}{1 - 0} = -1$, $k_2 = \frac{0 - 3}{2 - (-1)} = -1$,
则有 $k_1 = k_2$.
又 $k_{AM} = \frac{3 - 1}{-1 - 0} = -2 \neq -1$,
则 $A$, $B$, $M$ 不共线. 故 $l_1 // l_2$.
(4) 由已知点的坐标，得 $l_1$ 与 $l_2$ 均与 $x$ 轴垂直且不重合，故有 $l_1 // l_2$.