《2026年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第一册人教版》

1. 我国发射的“嫦娥一号”探月卫星的运行轨道分为三个阶段：绕地阶段、变轨阶段、绕月阶段.绕地阶段时的运行轨道是以地心$ F_1 $为一个焦点的椭圆，近地点$ A $离地面的距离为$ m $，远地点$ B $离地面的距离为$ n $，地球的半径为$ R $，则卫星运行轨道的短轴长为$2\sqrt{(m+R)(n+R)}$.

答案： 1.解析：
∵“嫦娥一号”探月卫星的运行轨道是以地球的中心$F_1$为一个焦点的椭圆，
设长半轴长为$a$，短半轴长为$b$，半焦距为$c$，
则$|AF_1|=a-c$，$|BF_1|=a+c$，
$\therefore \begin{cases}a-c=m+R,\\a+c=n+R.\end{cases}$
又$b^2=a^2-c^2=(a-c)(a+c)=(m+R)(n+R)$，
$\therefore b=\sqrt{(m+R)(n+R)}$.
$\therefore$短轴长$2b=2\sqrt{(m+R)(n+R)}$.
答案：$2\sqrt{(m+R)(n+R)}$

二、直线与椭圆的位置关系
[探究导思]
问题1 类比直线与圆的位置关系，探究直线与椭圆的位置关系时，如何确定直线与椭圆的位置关系？

答案： 问题1提示 联立直线与椭圆的方程，看公共解的个数.

[梳理导学]
直线$ y = kx + m $与椭圆$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1(a ＞ b ＞ 0) $的位置关系判断方法：
联立$ \begin{cases} y = kx + m, \\ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, \end{cases} $消去$ y $(或$ x $)得到一个关于$ x $(或$ y $)的一元二次方程：

答案： 两 ＞ 一 = 无 ＜

【例2】 已知直线$ l:y = 2x + m $，椭圆$ C:\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{2} = 1 $.试问当$ m $取何值时，直线$ l $与椭圆$ C $：
(1)有两个不同的公共点；
(2)有且只有一个公共点；
(3)没有公共点？

答案： 【例2】【解】直线$l$的方程与椭圆$C$的方程联立，得方程组
$\begin{cases}y=2x+m,①\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1,②\end{cases}$
将①代入②，整理得$9x^2+8mx+2m^2-4=0$，③
关于$x$的一元二次方程的判别式
$\Delta=(8m)^2-4×9×(2m^2-4)=-8m^2+144$.
(1)由$\Delta＞0$，得$-3\sqrt{2}＜m＜3\sqrt{2}$.
于是，当$-3\sqrt{2}＜m＜3\sqrt{2}$时，方程③有两个不同的实数
根，可知原方程组有两组不同的实数解.这时直线$l$与圆$C$有两个不同的公共点.
(2)由$\Delta=0$，得$m=\pm3\sqrt{2}$.
也就是当$m=\pm3\sqrt{2}$时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解.这时直线$l$与椭圆$C$有两个互相重合的公共点，即直线$l$与椭圆$C$有且只有一个公共点.
(3)由$\Delta＜0$，得$m＜- -3\sqrt{2}$或$m＞3\sqrt{2}$.
从而当$m＜- -3\sqrt{2}$或$m＞3\sqrt{2}$时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解.这时直线$l$与椭圆$C$没有公共点.

2. 在平面直角坐标系$ Oxy $中，经过点$ (0, \sqrt{2}) $且斜率为$ k $的直线$ l $与椭圆$ \frac{x^2}{2} + y^2 = 1 $有两个不同的交点$ P $和$ Q $，求$ k $的取值范围.

答案： 2.解：由已知条件知直线$l$的方程为$y=kx+\sqrt{2}$，代入椭圆
方程得$\frac{x^2}{2}+(kx+\sqrt{2})^2=1$，
整理得$(\frac{1}{2}+k^2)x^2+2\sqrt{2}kx+1=0$，
直线$l$与椭圆有两个不同的交点$P$和$Q$等价于$\Delta=8k^2-$
$4(\frac{1}{2}+k^2)=4k^2-2＞0$，
解得$k＜-\frac{\sqrt{2}}{2}$或$k＞\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以$k$的取值范围为$(-\infty,-\frac{\sqrt{2}}{2})\cup(\frac{\sqrt{2}}{2},+\infty)$.