《2026年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第一册人教版》

【例1】 (1)(多选)下列命题中，正确的是 (AC)
A. 任意一条直线都有唯一的倾斜角
B. 一条直线的倾斜角可以为$-30^{\circ}$
C. 倾斜角为$0^{\circ}$的直线有无数条
D. 若直线的倾斜角为$\alpha$，则$\sin\alpha\in(0,1)$
(2)(多选)设直线$l$与$x$轴交于点$A$，其倾斜角为$\alpha$，直线$l$绕点$A$顺时针旋转$60^{\circ}$后得直线$l_1$，则直线$l_1$的倾斜角可能为 (BC)
A. $\alpha + 60^{\circ}$
B. $\alpha + 120^{\circ}$
C. $\alpha - 60^{\circ}$
D. $120^{\circ}-\alpha$

答案： [例1]
(1)[解析] 任意一条直线都有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负，倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y轴，因此A正确，B错误，C正确.D中，当α=0°时，sin α=0；当α=90°时，sin α=1，故D错误.
[答案] AC
(2)[解析] 直线l绕点A顺时针旋转60°后得直线l₁，当α≥60°时，直线l₁的倾斜角为α−60°，当0°≤α＜60°时，直线l₁的倾斜角为180°−(60°−α)=120°+α.
[答案] BC

1. (1) 设直线$l$过原点，其倾斜角为$\alpha$，将直线$l$绕坐标原点沿逆时针方向旋转$40^{\circ}$，得直线$l_1$，则直线$l_1$的倾斜角为 (D)

A.$\alpha + 40^{\circ}$
B.$\alpha - 140^{\circ}$
C.$140^{\circ}-\alpha$
D.当$0^{\circ}\leqslant\alpha\lt140^{\circ}$时为$\alpha + 40^{\circ}$，当$140^{\circ}\leqslant\alpha\lt180^{\circ}$时为$\alpha - 140^{\circ}$

答案：
1.
(1)D 根据题意，画出图形，如图所示
　　　　　　 　　
因为0°≤α＜180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意.通过画图(如图所示)可知，当0°≤α＜140°时，l₁的倾斜角为α+40°；当140°≤α＜180°时，l₁的倾斜角为40°+α−180°=α−140°.故选D.

(2) 已知直线$l$向上方向与$y$轴正向所成的角为$30^{\circ}$，则直线$l$的倾斜角为60°或120°.

答案：

(2)解析：有两种情况：①如图
(1)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°.
　　　　　　
②如图
(2)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°.
　　　　　　
答案：60°或120°

二、直线的斜率
[探究导思]
问题3 在平面直角坐标系中，设直线$l$的倾斜角为$\alpha$.
(1) 已知直线$l$经过$O(0,0)$，$P(\sqrt{3},1)$，$\alpha$与$O$，$P$的坐标有什么关系？
(2) 类似地，如果直线$l$经过$P_1(-1,1)$，$P_2(\sqrt{2},0)$，$\alpha$与$P_1$，$P_2$的坐标有什么关系？
(3) 一般地，如果直线$l$经过两点$P_1(x_1,y_1)$，$P_2(x_2,y_2)$，$x_1\neq x_2$，那么$\alpha$与$P_1$，$P_2$的坐标有什么关系？

答案： 探究导思
问题3 提示$ (1)tan α=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}.$
$(2)tan α=\frac{1}{−1−\sqrt{2}}=1−\sqrt{2}.$
$(3)tan α=\frac{y₂−y₁}{x₂−x₁}$

[梳理导学]
1. 把一条直线的倾斜角$\alpha$的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母$k$表示，即$k = $tan α.
2. 经过两点$P_1(x_1,y_1)$，$P_2(x_2,y_2)$($x_1\neq x_2$)的直线的斜率公式为$k=\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$，当$x_1 = x_2$时，直线$P_1P_2$的斜率不存在.
3. 直线的方向向量与斜率的关系：若直线$l$的斜率为$k$，它的一个方向向量的坐标为$(x,y)$，则$k = \frac{y}{x}$.

答案： 梳理导学
1.正切值 tan α

【例2】 (1) 经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角.
①$A(2,3)$，$B(4,5)$；
②$C(-2,3)$，$D(2,-1)$；
③$P(-3,1)$，$Q(-3,10)$.
(2) 已知直线$l$过点$M(m + 1,m - 1)$，$N(2m,1)$.
① 当$m$为何值时，直线$l$的倾斜角为$90^{\circ}$？
② 当$m$为何值时，直线$l$的斜率是$1$？

答案： [例2] [解]
(1)①存在. 直线AB的斜率$k_{AB}=\frac{5−3}{4−2}=1，$则直线AB的倾斜角α满足tan α=1，又0°≤α＜180°，所以倾斜角α=45°.
②存在. 直线CD的斜率$k_{CD}=\frac{−1−3}{2−(−2)}=−1，$则直线CD的倾斜角α满足tan α=−1，又0°≤α＜180°，所以倾斜角α=135°.
③不存在. 因为x_P=x_Q=−3，所以直线PQ的斜率不存在，倾斜角α=90°.
(2)①l的倾斜角为90°，即l平行于y轴，所以m+1=2m，得m=1.
②由题意知m+1≠2m，即m≠1，直线l的斜率$k=\frac{m−1−1}{m+1−2m}=1，$解得$m=\frac{3}{2}.$