《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第二册人教版青海专用》

(1)记$S_{n}为数列\{a_{n}\}的前n$项和,若$S_{n}= \begin{cases}n^{2},n\leqslant5,\\5n - 4,n＞5,\end{cases} 则a_{6}=$(A)
A.$1$
B.$5$
C.$7$
D.$9$

答案： A

(2)已知数列$\{a_{n}\}$满足$a_{1}+\frac{a_{2}}{2}+\frac{a_{3}}{3}+…+\frac{a_{n - 1}}{n - 1}+\frac{a_{n}}{n}= n$,则$a_{n}= $n。

答案： n

例3
在数列$\{a_{n}\}$中,$a_{1}= 1$,$a_{n+1}= a_{n}+\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 1}$,则$a_{n}=$(B)
A.$\frac{1}{n}$
B.$\frac{2n - 1}{n}$
C.$\frac{n - 1}{n}$
D.$\frac{1}{2n}$

答案： B

例4
已知数列$\{a_{n}\}$满足$a_{1}= 1$,$a_{n + 1}= \frac{n}{n + 1}a_{n}(n\in\mathbf{N}^{*})$,则$a_{n}= $$\frac{1}{n}$。

答案： $\frac{1}{n}$

(1)已知数列$\{a_{n}\}$满足$a_{1}= 1$,$a_{n}= a_{n - 1}+\sqrt{n + 1}-\sqrt{n}(n\geqslant2)$,则$a_{99}= $$11-\sqrt{2}$。

答案： $11-\sqrt{2}$

(2)已知数列$\{a_{n}\}$满足$a_{1}= 1$,$\ln a_{n}-\ln a_{n - 1}= 1(n\geqslant2)$,求$a_{n}$。
因为$\ln a_{n}-\ln a_{n-1}=1$，所以$\ln \frac{a_{n}}{a_{n-1}}=1$，即$\frac{a_{n}}{a_{n-1}}=e(n≥2).$所以$a_{n}=\frac{a_{n}}{a_{n-1}}\cdot \frac{a_{n-1}}{a_{n-2}}\cdot ... \cdot \frac{a_{2}}{a_{1}}\cdot a_{1}$$=\frac{(n-1)个}{e\cdot e\cdot ... \cdot e}\cdot 1=e^{n-1}(n≥2),$又$a_{1}=1$也符合上式，所以$a_{n}=e^{n-1}(n∈N^{*}).$

答案： 因为$\ln a_{n}-\ln a_{n-1}=1$，所以$\ln \frac{a_{n}}{a_{n-1}}=1$，即$\frac{a_{n}}{a_{n-1}}=e(n≥2).$所以$a_{n}=\frac{a_{n}}{a_{n-1}}\cdot \frac{a_{n-1}}{a_{n-2}}\cdot ... \cdot \frac{a_{2}}{a_{1}}\cdot a_{1}$$=\frac{(n-1)个}{e\cdot e\cdot ... \cdot e}\cdot 1=e^{n-1}(n≥2),$又$a_{1}=1$也符合上式，所以$a_{n}=e^{n-1}(n∈N^{*}).$