《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第二册人教版青海专用》

[跟踪训练3] 设等差数列$\{ a_{n}\}的前n项和为S_{n}$,若$a_{2} = 2$,$S_{11} = 66$,则数列$\{\frac{1}{\sqrt{a_{n}} + \sqrt{a_{n + 1}}}\}的前99$项和为 (C)
A.7
B.8
C.9
D.10

答案： 解析：选C.依题意，S₁₁= $\frac{a_1 + a_{11}}{2}×11 = 11a_6 = 66$，所以a₆=6，因为a₂=2，由d= $\frac{a_6 - a_2}{6 - 2} = 1$，易知aₙ=n，所以 $\frac{1}{\sqrt{a_n} + \sqrt{a_{n + 1}}} = \frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n + 1}} = \sqrt{n + 1} - \sqrt{n}$，所以数列{ $\frac{1}{\sqrt{a_n} + \sqrt{a_{n + 1}}}$ }的前99项和为( $\sqrt{2} - 1$ )+( $\sqrt{3} - \sqrt{2}$ )+…+( $\sqrt{100} - \sqrt{99}$ )= $\sqrt{100} - 1 = 9$.

[例4] 已知数列$\{ a_{n}\}$是等差数列,且$a_{1} = 2$,$a_{1} + a_{2} + a_{3} = 12$.
(1)求数列$\{ a_{n}\}$的通项公式；
(2)令$b_{n} = a_{n} \cdot 3^{n}$,求数列$\{ b_{n}\}的前n项和S_{n}$.
.................................【解】（1）设数列{aₙ}的公差为d，
因为a₁+a₃=2a₂，a₁+a₂+a₃=12，所以a₂=4.
又a₁=2，所以d=4-2=2.
所以aₙ=2n，n∈N*.
（2）由bₙ=aₙ·3ⁿ=2n·3ⁿ，得
Sₙ=2·3+4·3²+…+(2n-2)·3ⁿ⁻¹+2n·3ⁿ，①
3Sₙ=2·3²+4·3³+…+(2n-2)·3ⁿ+2n·3ⁿ⁺¹，②
①-②得-2Sₙ=2(3+3²+3³+…+3ⁿ)-2n·3ⁿ⁺¹=3(3ⁿ-1)-2n·3ⁿ⁺¹，
所以Sₙ= $\frac{3}{2} + (n - \frac{1}{2})×3^{n + 1}$，n∈N*.

答案： 【解】（1）设数列{aₙ}的公差为d，
因为a₁+a₃=2a₂，a₁+a₂+a₃=12，所以a₂=4.
又a₁=2，所以d=4-2=2.
所以aₙ=2n，n∈N*.
（2）由bₙ=aₙ·3ⁿ=2n·3ⁿ，得
Sₙ=2·3+4·3²+…+(2n-2)·3ⁿ⁻¹+2n·3ⁿ，①
3Sₙ=2·3²+4·3³+…+(2n-2)·3ⁿ+2n·3ⁿ⁺¹，②
①-②得-2Sₙ=2(3+3²+3³+…+3ⁿ)-2n·3ⁿ⁺¹=3(3ⁿ-1)-2n·3ⁿ⁺¹，
所以Sₙ= $\frac{3}{2} + (n - \frac{1}{2})×3^{n + 1}$，n∈N*.

[跟踪训练4] 若$a_{n} = \frac{2n - 1}{2^{n - 1}}$,求数列$\{ a_{n}\}的前n项和T_{n}$.
解：由题意得
Tₙ=1+ $\frac{3}{2} + \frac{5}{2^2} + \frac{7}{2^3} + \frac{9}{2^4} + \cdots + \frac{2n - 1}{2^{n - 1}}$，①
$\frac{1}{2}T_n = \frac{1}{2} + \frac{3}{2^2} + \frac{5}{2^3} + \frac{7}{2^4} + \frac{9}{2^5} + \cdots + \frac{2n - 3}{2^{n - 1}} + \frac{2n - 1}{2^n}$.②
①-②可得 $\frac{1}{2}T_n = 2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \cdots + \frac{1}{2^{n - 2}} - \frac{2n - 1}{2^n} = 3 - \frac{2n + 3}{2^n}$，故Tₙ=6 - $\frac{2n + 3}{2^{n - 1}}$.

答案： 解：由题意得
Tₙ=1+ $\frac{3}{2} + \frac{5}{2^2} + \frac{7}{2^3} + \frac{9}{2^4} + \cdots + \frac{2n - 1}{2^{n - 1}}$，①
$\frac{1}{2}T_n = \frac{1}{2} + \frac{3}{2^2} + \frac{5}{2^3} + \frac{7}{2^4} + \frac{9}{2^5} + \cdots + \frac{2n - 3}{2^{n - 1}} + \frac{2n - 1}{2^n}$.②
①-②可得 $\frac{1}{2}T_n = 2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \cdots + \frac{1}{2^{n - 2}} - \frac{2n - 1}{2^n} = 3 - \frac{2n + 3}{2^n}$，故Tₙ=6 - $\frac{2n + 3}{2^{n - 1}}$.