《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第二册人教版青海专用》

跟踪训练$2$
(1) 已知数列$\{ a_n\}$是等比数列,公比$q = -\frac{3}{2},a_4 = - 27$,则$a_1 = $8。

答案： 8

(2) 已知数列$\{ a_n\}$为等比数列,且$a_2 = 3,a_6 = 243$,则$\{ a_n\}$的通项公式为$a_{n}=3^{n-1}$或$a_{n}=(-1)^{n}\cdot3^{n-1}$。

答案： $a_{n}=3^{n-1}$或$a_{n}=(-1)^{n}\cdot3^{n-1}$

例$3$ 设$\{ a_n\}$是等比数列,则“$a_1 ＜ a_2$”是“数列$\{ a_n\}$是递增数列”的 (B)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： B

跟踪训练$3$ 已知$\{ a_n\}$是递增的等比数列,且$a_2 ＜ 0$,则其公比$q$满足 (D)
A.$q ＜ - 1$
B.$- 1 ＜ q ＜ 0$
C.$q ＞ 1$
D.$0 ＜ q ＜ 1$

答案： D

1. 已知等比数列$\{ a_{n}\}$中,$a_{1}= 1$,$a_{4}= -8$,则公比$q=$(-2)
A.$2$
B.$-4$
C.$4$
D.$-2$

答案： 选 D. 依题意 $a_{4}=a_{1}q^{3}=q^{3}=-8$,解得 $q=-2$.

2. 已知$a是1$,$2$的等差中项,$b是-1$,$-16$的等比中项,则$ab= $(±6)
A.$6$
B.$-6$
C.$\pm 6$
D.$\pm 12$

答案： 选 C. 因为 $a=\frac{1+2}{2}=\frac{3}{2}$,$b^{2}=(-1)×(-16)=16$,$b= \pm 4$,所以 $ab= \pm 6$.

3. 数列$-\frac {1}{2},\frac {1}{4},-\frac {1}{8},\frac {1}{16},…的通项公式为a_{n}= $$\frac{(-1)^{n}}{2^{n}}$.

答案： 该数列是以$-\frac{1}{2}$为首项,$-\frac{1}{2}$为公比的等比数列,则 $a_{n}=(-\frac{1}{2})×(-\frac{1}{2})^{n-1}=\frac{(-1)^{n}}{2^{n}}$.答案:$\frac{(-1)^{n}}{2^{n}}$

4. 在等比数列$\{ a_{n}\}$中,
(1)已知$a_{n}= 128$,$a_{1}= 4$,$q = 2$,求$n$；
(2)已知$a_{1}= 2$,$a_{3}= 8$,求公比$q$和通项公式.
解:
(1)因为 $a_{n}=a_{1}q^{n-1}=128$,$a_{1}=4$,$q=2$,所以 $4\cdot 2^{n-1}=128$,所以 $2^{n+1}=32$.所以 $n-1=5$,$n=6$.
(2)因为 $a_{3}=a_{1}q^{2}=2q^{2}=8$,所以 $q^{2}=4$,所以 $q= \pm 2$.当 $q=2$时,$a_{n}=a_{1}q^{n-1}=2\cdot 2^{n-1}=2^{n}$,当 $q=-2$时,$a_{n}=a_{1}q^{n-1}=2\cdot (-2)^{n-1}=(-1)^{n-1}2^{n}$.

答案： 解:
(1)因为 $a_{n}=a_{1}q^{n-1}=128$,$a_{1}=4$,$q=2$,所以 $4\cdot 2^{n-1}=128$,所以 $2^{n+1}=32$.所以 $n-1=5$,$n=6$.
(2)因为 $a_{3}=a_{1}q^{2}=2q^{2}=8$,所以 $q^{2}=4$,所以 $q= \pm 2$.当 $q=2$时,$a_{n}=a_{1}q^{n-1}=2\cdot 2^{n-1}=2^{n}$,当 $q=-2$时,$a_{n}=a_{1}q^{n-1}=2\cdot (-2)^{n-1}=(-1)^{n-1}2^{n}$.