《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第二册人教版青海专用》

[例1] 已知数列$\{ a_{n}\}的前n项和S_{n}满足条件S_{n}= 3a_{n}+2$.求证:数列$\{ a_{n}\}$是等比数列.
【证明】 根据题意,数列{aₙ}满足Sₙ=3aₙ+2,①
当n=1时,有S₁=3a₁+2,所以a₁=-1,
当n≥2,n∈N⁺时,因为Sₙ=3aₙ+2,
所以Sₙ₋₁=3aₙ₋₁+2,②
①-②得aₙ=3aₙ-3aₙ₋₁,
即2aₙ=3aₙ₋₁.
由a₁=-1≠0,得aₙ≠0,
所以$\frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{3}{2}(n\geq2,n\in\mathbf{N}^*)$,
由等比数列定义知数列{aₙ}是以-1为首项,$\frac{3}{2}$为公比的等比数列.

答案： 【证明】 根据题意,数列{aₙ}满足Sₙ=3aₙ+2,①
当n=1时,有S₁=3a₁+2,所以a₁=-1,
当n≥2,n∈N⁺时,因为Sₙ=3aₙ+2,
所以Sₙ₋₁=3aₙ₋₁+2,②
①-②得aₙ=3aₙ-3aₙ₋₁,
即2aₙ=3aₙ₋₁.
由a₁=-1≠0,得aₙ≠0,
所以$\frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{3}{2}(n\geq2,n\in\mathbf{N}^*)$,
由等比数列定义知数列{aₙ}是以-1为首项,$\frac{3}{2}$为公比的等比数列.

[例2] 已知数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{n}＞0$,且$\lg a_{n}$,$\lg a_{n + 1}$,$\lg a_{n + 2}$成等差数列.
(1)证明:$\{ a_{n}\}$为等比数列;
(2)若$a_{5}= 8$,$a_{7}= 2$,求数列$\{ a_{n}\}$的通项公式.
【解】
(1)证明:因为lg aₙ,lg aₙ₊₁,lg aₙ₊₂成等差数列,
所以2lg aₙ₊₁=lg aₙ+lg aₙ₊₂,
所以$a_{n+1}^2=a_n a_{n+2}$,又aₙ＞0,所以数列{aₙ}为等比数列.
(2)由
(1)可设等比数列{aₙ}的公比为q,且q＞0.
由已知得$\begin{cases}a_5=a_1 q^4=8,\\a_7=a_1 q^6=2,\end{cases}$解得$\begin{cases}q^2=\frac{1}{4},\\a_1=128.\end{cases}$
因为q＞0,所以$q=\frac{1}{2}$,
所以$a_n=128×\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=\frac{1}{2^{n-8}}.$

答案： 【解】
(1)证明:因为lg aₙ,lg aₙ₊₁,lg aₙ₊₂成等差数列,
所以2lg aₙ₊₁=lg aₙ+lg aₙ₊₂,
所以$a_{n+1}^2=a_n a_{n+2}$,又aₙ＞0,所以数列{aₙ}为等比数列.
(2)由
(1)可设等比数列{aₙ}的公比为q,且q＞0.
由已知得$\begin{cases}a_5=a_1 q^4=8,\\a_7=a_1 q^6=2,\end{cases}$解得$\begin{cases}q^2=\frac{1}{4},\\a_1=128.\end{cases}$
因为q＞0,所以$q=\frac{1}{2}$,
所以$a_n=128×\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=\frac{1}{2^{n-8}}$.

[跟踪训练1] 已知数列$\{ a_{n}\}满足a_{1}= -2$,$a_{n + 1}= 2a_{n}+4$.
(1)证明:数列$\{ a_{n}+4\}$是等比数列;
(2)求数列$\{ a_{n}\}$的通项公式.
(1)证明:因为$a_{1}=-2$,所以$a_{1}+4=2$.
因为$a_{n+1}=2a_{n}+4$,
所以$a_{n}+4\neq0$,$a_{n+1}+4=2a_{n}+8=2(a_{n}+4)$,
所以$\frac{a_{n+1}+4}{a_n+4}=2$,
所以数列$\{a_{n}+4\}$是以2为首项,2为公比的等比数列.
(2)由(1)知$a_{n}+4=2^{n}$,所以$a_{n}=2^{n}-4$.

答案： 解:
(1)证明:因为a₁=-2,所以a₁+4=2.
因为aₙ₊₁=2aₙ+4,
所以aₙ+4≠0,aₙ₊₁+4=2aₙ+8=2(aₙ+4),
所以$\frac{a_{n+1}+4}{a_n+4}=2$,
所以数列{aₙ+4}是以2为首项,2为公比的等比数列.
(2)由
(1)知aₙ+4=2ⁿ,所以aₙ=2ⁿ-4.