《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第二册人教版青海专用》

2. 等比数列$\{ a_{n}\}的前n项和为S_{n}$,已知$S_{3}= a_{2}+5a_{1}$,$a_{5}= 4$,则$a_{1}= $($\frac{1}{4}$)
A.$\frac{1}{4}$
B.$-\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$-\frac{1}{2}$

答案： 解析：选 A. 设等比数列$\{ a_{n}\} $的公比为 q, 由$S_{3}=a_{2}+5a_{1}$,得$a_{1}+a_{2}+a_{3}=a_{2}+5a_{1},$ 即$a_{3}=4a_{1}=a_{1}q^{2}$,所以$q^{2}=4,$ 又$a_{5}=4$,所以$a_{1}q^{4}=a_{1}(q^{2})^{2}=16a_{1}=4$,所以$a_{1}=\frac {1}{4}.$

3. (2024·全国甲卷改编)已知等比数列$\{ a_{n}\}$的前n项和为$S_{n}$,且$2S_{n}= 3a_{n + 1}-3$.
(1)求$\{ a_{n}\}$的通项公式;
(2)求数列$\{ a_{n}\}$的前n项和$S_{n}$.
(1)解：因为$2S_{n}=3a_{n+1}-3$，所以$2S_{n+1}=3a_{n+2}-3$，两式相减可得$2a_{n+1}=3a_{n+2}-3a_{n+1}$，即$\frac{a_{n+2}}{a_{n+1}}=\frac{5}{3}$，所以等比数列$\{ a_{n}\}$的公比为$\frac{5}{3}$。因为$2S_{1}=3a_{2}-3=5a_{1}-3=2a_{1}$，所以$a_{1}=1$，故$a_{n}=(\frac{5}{3})^{n-1}$。
(2)解：因为$2S_{n}=3a_{n+1}-3$，所以$S_{n}=\frac{3}{2}(a_{n+1}-1)=\frac{3}{2}[(\frac{5}{3})^{n}-1]$。

答案： 解：
(1)因为$2S_{n}=3a_{n+1}-3$,所以$2S_{n+1}=3a_{n+2}-3,$ 两式相减可得$2a_{n+1}=3a_{n+2}-3a_{n+1},$ 即$\frac {a_{n+2}}{a_{n+1}}=\frac {5}{3}$,所以等比数列$\{ a_{n}\} $的公比为$\frac {5}{3},$ 因为$2S_{1}=3a_{2}-3=5a_{1}-3=2a_{1},$ 所以$a_{1}=1$,故$a_{n}=(\frac {5}{3})^{n-1}.$
(2)因为$2S_{n}=3a_{n+1}-3,$ 所以$S_{n}=\frac {3}{2}(a_{n+1}-1)=\frac {3}{2}[(\frac {5}{3})^{n}-1].$

1. 已知公比大于 1 的等比数列$\{ a_{n}\}满足a_{2}a_{m}= a_{6}a_{n}$,$a_{m}^{2}= a_{6}a_{10}$,则$m + n= $(12)
A.4
B.8
C.12
D.16

答案： 解析：选 C. 因为$a_{2}a_{m}=a_{6}a_{n},a_{m}^{2}=a_{4}a_{10}$,公比$q＞1$,所以由等比数列的性质可得$2+m=6+n,2m=16$,解得$m=8,n=4$,所以$m+n=12.$

2. 设$S_{n}$是等比数列$\{ a_{n}\}$的前n项和,若$S_{3}= 4$,$a_{4}+a_{5}+a_{6}= 8$,则$\frac{S_{12}}{S_{9}}= $($\frac{15}{7}$)
A.$\frac{15}{7}$
B.$\frac{7}{3}$
C.5
D.$\frac{7}{15}$

答案： 解析：选 A. 由题知,$S_{3}=4,S_{6}-S_{3}=8,$ 可得$\frac {S_{6}-S_{3}}{S_{3}}=\frac {S_{9}-S_{6}}{S_{6}-S_{3}}=\frac {S_{12}-S_{9}}{S_{9}-S_{6}}=2,$ 可得$S_{6}=2×4+4=12,S_{9}=2×8+12=28,$ $S_{12}=2×(28-12)+28=60,$ 则$\frac {S_{12}}{S_{9}}=\frac {60}{28}=\frac {15}{7}.$

3. 已知一个项数为偶数的等比数列$\{ a_{n}\}$,所有项之和为所有偶数项之和的 4 倍,前 3 项之积为 64,则$a_{1}= $(12)
A.1
B.4
C.12
D.36

答案： 解析：选 C. 由题意得,$S_{奇}+S_{偶}=4S_{偶}$,设等比数列$\{ a_{n}\} $的公比为 q,由等比数列前 n 项和的性质可得$S_{偶}=qS_{奇}$,即$S_{奇}=\frac {1}{q}S_{偶}$,所以$\frac {1}{q}S_{偶}+S_{偶}=4S_{偶}$,因为$S_{偶}≠0$,所以$\frac {1}{q}+1=4$,解得$q=\frac {1}{3}$,又前3项之积$a_{1}a_{2}a_{3}=a_{2}^{3}=64$,所以$a_{2}=4$,所以$a_{1}=\frac {a_{2}}{q}=12.$