《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第二册人教版青海专用》

1. 若函数 $ f(x)= \cos x+\sin \frac{\pi}{3} $,则 $ f^{\prime}(0)= $(A)
A.$ 0 $
B.$ -1 $
C.$ 1 $
D.$ \pm 1 $

答案： 选A.$f'(x)=-\sin x+0=-\sin x$,所以$f'(0)=0.$

2. 曲线 $ f(x)= x(x-1)(x-2)(x-3) $ 在原点处的切线方程为($y=-6x$)
A.$ y= -6x $
B.$ y= -3x $
C.$ y= 3x $
D.$ y= 6x $

答案： 选A.因为$f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)$,所以$f'(x)$$=(x-1)(x-2)(x-3)+x\cdot [(x-1)(x-2)(x-3)]'$,所以$f'(0)=(-1)×(-2)×(-3)+0=-6$,所以切线方程为$y=$$-6x.$

3. 若 $ f(x)= \cos x+2 x f^{\prime}\left(\frac{\pi}{6}\right) $,则 $ f^{\prime}\left(\frac{\pi}{6}\right)= $$\dfrac{1}{2}$.

答案： 由$f(x)=\cos x+2xf'\left( \dfrac{\pi}{6}\right)$可得$f'(x)=-\sin x+$$2f'\left( \dfrac{\pi}{6}\right)$,令$x=\dfrac{\pi}{6}$,则$f'\left( \dfrac{\pi}{6}\right)=-\sin \dfrac{\pi}{6}+2f'\left( \dfrac{\pi}{6}\right)$,解得$f'\left( \dfrac{\pi}{6}\right)=\sin \dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{2}.$答案:$\dfrac{1}{2}$

4. 已知函数 $ f(x)= \frac{\ln x}{x} $.
(1) 求 $ f(x) $ 的导数；
(2) 求曲线 $ y= f(x) $ 在点 $ (1,0) $ 处的切线方程,并求出切线与坐标轴所围成的三角形的面积.
(1)因为$f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$,所以$f'(x)=\dfrac{\dfrac{1}{x}\cdot x-\ln x}{x^{2}}=\dfrac{1-\ln x}{x^{2}},x＞0.$
(2)由(1)得,$f'(1)=1$,则所求切线的斜率为1,故所求切线方程为$x-y-1=0.$当$x=0$时,$y=-1$;当$y=0$时,$x=1.$故切线与坐标轴所围成的三角形的面积$S=\dfrac{1}{2}×1×1=\dfrac{1}{2}.$

答案：
(1)因为$f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$,所以$f'(x)=\dfrac{\dfrac{1}{x}\cdot x-\ln x}{x^{2}}=\dfrac{1-\ln x}{x^{2}},x＞0.$
(2)由
(1)得,$f'(1)=1$,则所求切线的斜率为1,故所求切线方程为$x-y-1=0.$当$x=0$时,$y=-1$;当$y=0$时,$x=1.$故切线与坐标轴所围成的三角形的面积$S=\dfrac{1}{2}×1×1=\dfrac{1}{2}.$

一 复合函数的概念
思考 我们常说 $ y = \sin x $ 为“正弦函数”,而 $ y = \sin 2x $ 为“正弦型函数”,那么 $ y = \sin 2x $ 是由哪些初等函数构成的？
提示:设u=2x,则y=sin2x可以看作正弦函数y=sin u和u=2x两个初等函数以一种“嵌套”的方式组成.

答案： 提示:设u=2x,则y=sin2x可以看作正弦函数y=sin u和u=2x两个初等函数以一种“嵌套”的方式组成.