《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第二册人教版青海专用》

[例3] (对接教材例4、例6)某人买了一辆价值13.5万元的新车,预测这种车会按每年10%的速度贬值.
(1)用一个式子表示$n(n\in N^{*})$年后这辆车的价值;
(2)如果他打算用满4年后卖掉这辆车,那么他大概能得到多少钱?(结果保留一位小数,参考数据:$0.9^{3}\approx0.73$,$0.9^{4}\approx0.66$,$0.9^{5}\approx0.59$)
【解】
(1)设从第一年起,每年这辆车的价值(单位:万元)依次为a₁,a₂,…,aₙ,由题意得a₁=13.5,
a₂=13.5×(1-10%),
a₃=13.5×(1-10%)²,
……
$a_n=13.5×(1-10\%)^{n-1}$,由等比数列的定义,知数列{aₙ}是以13.5为首项,以(1-10%)=0.9为公比的等比数列,
即$a_n=a_1\cdot q^{n-1}=13.5×0.9^{n-1}$.
所以n(n∈N⁺)年后这辆车的价值为$a_{n+1}=13.5×0.9^n$(万元).
(2)由(1)得$a_5=13.5×0.9^4\approx8.9$,
所以用满4年后卖掉这辆车,他大概能得到8.9万元.

答案： 【解】
(1)设从第一年起,每年这辆车的价值(单位:万元)依次为a₁,a₂,…,aₙ,由题意得a₁=13.5,
a₂=13.5×(1-10%),
a₃=13.5×(1-10%)²,
……
$a_n=13.5×(1-10\%)^{n-1}$,由等比数列的定义,知数列{aₙ}是以13.5为首项,以(1-10%)=0.9为公比的等比数列,
即$a_n=a_1\cdot q^{n-1}=13.5×0.9^{n-1}$.
所以n(n∈N⁺)年后这辆车的价值为$a_{n+1}=13.5×0.9^n$(万元).
(2)由
(1)得$a_5=13.5×0.9^4\approx8.9$,
所以用满4年后卖掉这辆车,他大概能得到8.9万元.

[跟踪训练2] 从装有1L纯酒精的容器中倒出$\frac{2}{3}$L,然后用水填满;再倒出$\frac{2}{3}$L,又用水填满;……
连续进行$n$次,容器中的纯酒精少于0.002L,则$n$的最小值为 (B)
A.5
B.6
C.7
D.8

答案： 解析:选B.由题意得连续进行了n次后,容器中纯酒精的剩余量组成等比数列{aₙ},
则数列{aₙ}是以$\frac{1}{3}$为首项,$\frac{1}{3}$为公比的等比数列,
所以$a_n=\frac{1}{3}×\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}=\left(\frac{1}{3}\right)^n$,
由题意可得$\left(\frac{1}{3}\right)^n＜0.002=\frac{1}{500}$,
因为$\left(\frac{1}{3}\right)^5=\frac{1}{243}＞\frac{1}{500}$,$\left(\frac{1}{3}\right)^6=\frac{1}{729}＜\frac{1}{500}$,
所以n≥6且n∈N⁺.

[例4] (对接教材例3)已知公差不为0的等差数列$\{ a_{n}\}的前n项和为S_{n}$,且$S_{1}+1$,$S_{3}$,$S_{4}$成等差数列,$a_{1}$,$a_{2}$,$a_{5}$成等比数列.
(1)求数列$\{ a_{n}\}$的通项公式;
(2)若$S_{4}$,$S_{6}$,$S_{n}$成等比数列,求$n及此等比数列的公比q$.
【解】
(1)设等差数列{aₙ}的公差为d(d≠0).
由已知可得$\begin{cases}2S_3=S_1+1+S_4,\\a_2^2=a_1a_5,\end{cases}$
即$\begin{cases}2a_1+3d=a_1+3d+1,\\(a_1+d)^2=a_1(a_1+4d),\end{cases}$又d≠0,
解得$\begin{cases}a_1=1,\\d=2.\end{cases}$
所以aₙ=1+2(n-1)=2n-1,n∈N⁺.
(2)由
(1)可得$S_n=\frac{n(1+2n-1)}{2}=n^2$,
所以S₄=4²=16,S₆=6²=36.
因为S₄,S₆,Sₙ成等比数列,
所以$S_6^2=S_4\cdot S_n$,
所以36²=16n²,解得n=9,
所以此等比数列的公比$q=\frac{36}{16}=\frac{9}{4}$.

答案： 【解】
(1)设等差数列{aₙ}的公差为d(d≠0).
由已知可得$\begin{cases}2S_3=S_1+1+S_4,\\a_2^2=a_1a_5,\end{cases}$
即$\begin{cases}2a_1+3d=a_1+3d+1,\\(a_1+d)^2=a_1(a_1+4d),\end{cases}$又d≠0,
解得$\begin{cases}a_1=1,\\d=2.\end{cases}$
所以aₙ=1+2(n-1)=2n-1,n∈N⁺.
(2)由
(1)可得$S_n=\frac{n(1+2n-1)}{2}=n^2$,
所以S₄=4²=16,S₆=6²=36.
因为S₄,S₆,Sₙ成等比数列,
所以$S_6^2=S_4\cdot S_n$,
所以36²=16n²,解得n=9,
所以此等比数列的公比$q=\frac{36}{16}=\frac{9}{4}$.