《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第二册人教版青海专用》

(1)(多选)下列判断正确的是(BCD)
A.等差数列$\{ a_{n}\}$中,$a_{3}= 4$,$a_{4}= 2$,则数列$\{ a_{n}\}$是递增数列
B.若$a_{n}= kn + b$($k$,$b$为常数,$n\in \mathbf{N}^{*}$),则数列$\{ a_{n}\}$是等差数列
C.等差数列的公差相当于图象法表示数列时点所在直线的斜率
D.若数列$\{ a_{n}\}$是等差数列,且$a_{n}= kn^{2}-n$,则$k = 0$

答案： BCD

(2)已知数列$\{ a_{n}\}$为等差数列,$a_{15}= 8$,$a_{60}= 20$,则$a_{75}= $24.

答案： 24

二 等差数列的判定与证明
思考 若数列$\{ a_{n}\}$满足$2a_{2}= a_{1}+a_{3}$,能说明$\{ a_{n}\}$是等差数列吗？若满足$2a_{n}= a_{n - 1}+a_{n + 1}$,$n\geqslant2$呢？
由$2a_{2}=a_{1}+a_{3}$可得$a_{3}-a_{2}=a_{2}-a_{1}$,只能说明$a_{1},a_{2},a_{3}$是等差数列,不代表整个数列是等差数列,故不能说明$\{ a_{n}\} $是等差数列.$2a_{n}=a_{n - 1}+a_{n + 1},n\geq2$可以化为$a_{n + 1}-a_{n}=a_{n}-a_{n - 1}$,考虑$n$的任意性,说明$a_{n}-a_{n - 1}$为同一个常数,符合等差数列的定义,可以说明$\{ a_{n}\} $是等差数列.

答案： 由$2a_{2}=a_{1}+a_{3}$可得$a_{3}-a_{2}=a_{2}-a_{1}$,只能说明$a_{1},a_{2},a_{3}$是等差数列,不代表整个数列是等差数列,故不能说明$\{ a_{n}\} $是等差数列.$2a_{n}=a_{n - 1}+a_{n + 1},n\geq2$可以化为$a_{n + 1}-a_{n}=a_{n}-a_{n - 1}$,考虑$n$的任意性,说明$a_{n}-a_{n - 1}$为同一个常数,符合等差数列的定义,可以说明$\{ a_{n}\} $是等差数列.

证明或判定等差数列的方法
(1)定义法：$a_{n}-a_{n - 1}= \textcircled{1}$______$d$($n\geqslant2$)或$\textcircled{2}$______$a_{n + 1}-a_{n}$$=d$.
(2)等差中项法：$2a_{n}= a_{n - 1}+a_{n + 1}$($n\geqslant2$).
(3)通项公式法：$a_{n}= pn + q$($p$,$q$为常数).

答案： ①$d$ ②$a_{n + 1}-a_{n}$

例 2
已知数列$\{ a_{n}\}满足a_{1}= 2$,$a_{n + 1}= \dfrac {a_{n}}{1 + 2a_{n}}$.
(1)求证：数列$\left\{ \dfrac {1}{a_{n}}\right\}$是等差数列；
(2)求数列$\{ a_{n}\}$的通项公式.
(1)证明:因为数列$\{ a_{n}\} $满足$a_{1} = 2$,$a_{n + 1}=\frac{a_{n}}{1 + 2a_{n}}$.两边取倒数可得,$\frac{1}{a_{n + 1}} = 2 + \frac{1}{a_{n}}$,即$\frac{1}{a_{n + 1}}-\frac{1}{a_{n}} = 2$,所以数列$\{ \frac{1}{a_{n}}\} $是等差数列,首项为$\frac{1}{a_{1}}=\frac{1}{2}$,公差为2.
(2)由(1)可得,$\frac{1}{a_{n}}=\frac{1}{2}+2(n - 1)=\frac{4n - 3}{2}$,解得$a_{n}=\frac{2}{4n - 3}$.

答案：
(1)证明:因为数列$\{ a_{n}\} $满足$a_{1} = 2$,$a_{n + 1}=\frac{a_{n}}{1 + 2a_{n}}$.两边取倒数可得,$\frac{1}{a_{n + 1}} = 2 + \frac{1}{a_{n}}$,即$\frac{1}{a_{n + 1}}-\frac{1}{a_{n}} = 2$,所以数列$\{ \frac{1}{a_{n}}\} $是等差数列,首项为$\frac{1}{a_{1}}=\frac{1}{2}$,公差为2.
(2)由
(1)可得,$\frac{1}{a_{n}}=\frac{1}{2}+2(n - 1)=\frac{4n - 3}{2}$,解得$a_{n}=\frac{2}{4n - 3}$.

(1)已知数列$\{ a_{n}\}满足a_{n}+a_{n + 2}= 2a_{n + 1}(n\in \mathbf{N}^{*})$,且$a_{3}= 2$,$a_{5}= 8$,则$a_{7}= $(C)
A.$12$
B.$13$
C.$14$
D.$15$

答案： C

(2)已知$a_{1}= 2$,若$a_{n + 1}= 2a_{n}+2^{n + 1}$,证明$\left\{ \dfrac {a_{n}}{2^{n}}\right\}$为等差数列,并求$\{ a_{n}\}$的通项公式.
解:由于$a_{n + 1}=2a_{n}+2^{n + 1}$,所以$\frac{a_{n + 1}}{2^{n + 1}}-\frac{a_{n}}{2^{n}} = 1$,又$\frac{a_{1}}{2^{1}} = 1$,所以$\{ \frac{a_{n}}{2^{n}}\} $是以1为首项,1为公差的等差数列.所以$\frac{a_{n}}{2^{n}}=1+(n - 1)×1 = n$.所以$a_{n}=n\cdot 2^{n}$.

答案： 解:由于$a_{n + 1}=2a_{n}+2^{n + 1}$,所以$\frac{a_{n + 1}}{2^{n + 1}}-\frac{a_{n}}{2^{n}} = 1$,又$\frac{a_{1}}{2^{1}} = 1$,所以$\{ \frac{a_{n}}{2^{n}}\} $是以1为首项,1为公差的等差数列.所以$\frac{a_{n}}{2^{n}}=1+(n - 1)×1 = n$.所以$a_{n}=n\cdot 2^{n}$.