《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第二册人教版青海专用》

如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式。
提醒 对数列递推公式的再理解：①与所有的数列不一定都有通项公式一样,并不是所有的数列都有递推公式；②给出了数列的递推公式和首项(或前几项),就可以求出数列中的任意一项。

答案： 相邻

例1
(对接教材例5)(1)已知数列$\{a_{n}\}$的首项$a_{1}= 1$,且$a_{n+1}= \frac{2}{a_{n}} + 1$,则这个数列的第4项是(B)
A.$\frac{11}{7}$
B.$\frac{11}{5}$
C.$\frac{21}{11}$
D.$6$

答案：
(1)B

(2)已知数列$\{a_{n}\}满足a_{n+1}-2a_{n}= 0$,且$a_{3}= 1$,则$a_{1}= $____。

答案：
(2)$\frac{1}{4}$

(1)已知数列$\{a_{n}\}$满足$a_{1}= 1$,$a_{n+1}= 2a_{n}+n$,则$a_{4}=$(C)
A.$17$
B.$18$
C.$19$
D.$20$

答案： C

(2)若数列$\{a_{n}\}$满足$a_{n+2}= a_{n+1}+2a_{n}$,且$a_{1}= 1$,$a_{2}= 2$,则$a_{6}= $32。

答案： 32

二 数列$\{a_{n}\}$的前n项和$S_{n}$与$a_{n}$的关系
如果把数列$\{a_{n}\}$的前n项和记作$S_{n}$。
思考1
你能用$S_{n}$表示$a_{3}$吗？
提示:$a_{3}=S_{3}-S_{2}.$
思考2
如何用$S_{n}$表示$a_{8}+a_{9}$,$a_{n}$？
提示:$a_{8}+a_{9}=S_{9}-S_{7},a_{n}=\left\{\begin{array}{l} S_{n}-S_{n-1},n≥2,\\ S_{1},n=1.\end{array}\right.$

答案： 思考1 提示:$a_{3}=S_{3}-S_{2}.$思考2 提示:$a_{8}+a_{9}=S_{9}-S_{7},a_{n}=\left\{\begin{array}{l} S_{n}-S_{n-1},n≥2,\\ S_{1},n=1.\end{array}\right.$

1. 数列$\{a_{n}\}$的前n项和：把数列$\{a_{n}\}$从第1项起到第$n$项止的各项之和,称为数列$\{a_{n}\}$的前n项和,记作$\textcircled{1}$$S_{n}$,即$S_{n}= \textcircled{2}$$a_{1}+a_{2}+... +a_{n}$。

答案： ①$S_{n}$②$a_{1}+a_{2}+... +a_{n}$

2. 数列$\{a_{n}\}$的前n项和公式：如果数列$\{a_{n}\}$的前n项和\textcircled{3}$S_{n}$与它的\textcircled{4}序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的前$n$项和公式。

答案： ③$S_{n}$④序号n

3. $a_{n}与S_{n}$的关系：$a_{n}= \textcircled{5}$$\left\{\begin{array}{l} S_{1},n=1,\\ S_{n}-S_{n-1},n≥2\end{array}\right.$。

答案： ⑤$\left\{\begin{array}{l} S_{1},n=1,\\ S_{n}-S_{n-1},n≥2\end{array}\right.$

例2
设$S_{n}$为数列$\{a_{n}\}$的前n项和,已知$S_{n}= n^{2}-10n$,求$a_{1}$及$a_{n}$。
母题探究
本例中,若将条件“$S_{n}= n^{2}-10n$”变为“$S_{n}= n^{2}-10n + 1$”,求$a_{1}$及$a_{n}$。
【解】因为$S_{n}=n^{2}-10n$,所以当$n=1$时,$a_{1}=S_{1}=1^{2}-10×1=-9$,当$n≥2$时,$a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=n^{2}-10n-[(n-1)^{2}-10(n-1)]=2n-11.$ 经验证当$n=1$时,$a_{n}=2n-11$成立,所以$a_{n}=2n-11.$
[母题探究]解:因为$S_{n}=n^{2}-10n+1,$所以当$n=1$时,$a_{1}=S_{1}=1^{2}-10×1+1=-8,$当$n≥2$时,$a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=n^{2}-10n+1-[(n-1)^{2}-10(n-1)+1]=2n-11$,经验证当$n=1$时上式不成立,所以$a_{n}=\left\{\begin{array}{l} -8,n=1,\\ 2n-11,n≥2.\end{array}\right.$

答案： 【解】因为$S_{n}=n^{2}-10n$,所以当$n=1$时,$a_{1}=S_{1}=1^{2}-$$10×1=-9$,当$n≥2$时,$a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=n^{2}-10n-[(n-1)^{2}-10(n-1)]=2n-11.$ 经验证当$n=1$时,$a_{n}=2n-11$成立,所以$a_{n}=2n-11.$
[母题探究]解:因为$S_{n}=n^{2}-10n+1,$所以当$n=1$时,$a_{1}=S_{1}=1^{2}-10×1+1=-8,$当$n≥2$时,$a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=n^{2}-10n+1-[(n-1)^{2}-10(n-1)+1]=2n-11$,经验证当$n=1$时上式不成立,所以$a_{n}=\left\{\begin{array}{l} -8,n=1,\\ 2n-11,n≥2.\end{array}\right. $