《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第二册人教版青海专用》

[练习 1] 数列 $\{ 2n\}$ 与 $\{ 3n - 1\}$ 的所有公共项由小到大构成一个新的数列 $\{ a_n\}$,则 $a_{10}= $ $\underline{56}$。

答案： 56

[练习 2] 已知等差数列 $\{ a_n\}$ 的首项为 $a_1$,公差为 $d$,若以第 $2$ 项为首项,每隔两项取出一项组成一个新的数列 $\{ b_n\}$。
(1) 证明：$\{ b_n\}$ 是等差数列,并求其公差；
(2) $b_n$ 为数列 $\{ a_n\}$ 的第几项？
(1)由题意知，当$n≥2$时，$b_n - b_{n - 1}=3d$，即数列$\{ b_n\}$是等差数列，公差为3d.
(2)由题意$b_1=a_2$，则$b_n=b_1+(n - 1)×3d=a_2 + 3(n - 1)d$，令$a_k=b_n$，即$a_1+(k - 1)d=a_2 + 3(n - 1)d$，即$a_1+(k - 1)d=a_1 + d + 3(n - 1)d$，解得$k=3n - 1,n∈N^{*}$，即$b_n$为数列$\{ a_n\}$的第$3n - 1$项.

答案：
(1)由题意知，当$n≥2$时，$b_n - b_{n - 1}=3d$，即数列$\{ b_n\}$是等差数列，公差为3d.
(2)由题意$b_1=a_2$，则$b_n=b_1+(n - 1)×3d=a_2 + 3(n - 1)d$，令$a_k=b_n$，即$a_1+(k - 1)d=a_2 + 3(n - 1)d$，即$a_1+(k - 1)d=a_1 + d + 3(n - 1)d$，解得$k=3n - 1,n∈N^{*}$，即$b_n$为数列$\{ a_n\}$的第$3n - 1$项.

1. 在等差数列$\{ a_{n}\}$中,已知$a_{3}= 10$,$a_{8}= -20$,则公差$d=$(-6)
A.$3$
B.$-6$
C.$4$
D.$-3$

答案： 解析:选 B. 由等差数列的性质得 $a_{8}-a_{3}=(8-3)d=5d$,所以 $d=\frac{-20-10}{5}=-6$.

2. (多选)若$\{ a_{n}\}$是等差数列,则下列数列为等差数列的有(AD)
A.$\{ a_{n}+a_{n + 1}\}$
B.$\{ a_{n}^{2}\}$
C.$\{ a_{n + 1}\cdot a_{n}\}$
D.$\{ 2a_{n}\}$

答案： 解析:选 AD. 设等差数列$\{ a_{n}\}$的公差为 $d$.对于 A,$(a_{n}+a_{n+1})-(a_{n-1}+a_{n})=(a_{n}-a_{n-1})+(a_{n+1}-a_{n})=2d(n\geq2)$,所以$\{ a_{n}+a_{n+1}\}$是以 $2d$ 为公差的等差数列;对于 B,$a_{n+1}^{2}-a_{n}^{2}=(a_{n+1}-a_{n})(a_{n}+a_{n+1})=d(a_{n}+a_{n+1})$,因为 $d(a_{n}+a_{n+1})$不一定为常数,所以$\{ a_{n}^{2}\}$不一定是等差数列;对于 C,因为 $a_{n+1}\cdot a_{n}-a_{n}\cdot a_{n-1}=a_{n}(a_{n+1}-a_{n-1})=2da_{n}(n\geq2)$,因为 $2da_{n}$不一定为常数,所以$\{ a_{n+1}\cdot a_{n}\}$不一定是等差数列;对于 D,因为 $2a_{n+1}-2a_{n}=2d$,所以$\{ 2a_{n}\}$是以 $2d$ 为公差的等差数列.

3. 已知等差数列$\{ a_{n}\}的公差为d(d\neq 0)$,且$a_{3}+a_{6}+a_{10}+a_{13}= 32$,若$a_{m}= 8$,则$m=$(8)
A.$12$
B.$8$
C.$6$
D.$4$

答案： 解析:选 B. 由等差数列性质得 $a_{3}+a_{6}+a_{10}+a_{13}=4a_{8}=32$,所以 $a_{8}=8$,又 $d\neq0$,所以 $m=8$.

4. 已知三个数成等差数列,它们的和为$9$,它们的平方和为$59$,求这三个数的积。
解:设这三个数分别为 $a-d,a,a+d$,则$\begin{cases}a-d+a+a+d=9,\\(a-d)^{2}+a^{2}+(a+d)^{2}=59,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=3,\\d=4\end{cases}$或$\begin{cases}a=3,\\d=-4.\end{cases}$所以这三个数依次为-1,3,7或7,3,-1.所以这三个数的积为-21.

答案： 解:设这三个数分别为 $a-d,a,a+d$,则$\begin{cases}a-d+a+a+d=9,\\(a-d)^{2}+a^{2}+(a+d)^{2}=59,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=3,\\d=4\end{cases}$或$\begin{cases}a=3,\\d=-4.\end{cases}$所以这三个数依次为-1,3,7或7,3,-1.所以这三个数的积为-21.