《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第二册人教版青海专用》

1. 数列的通项公式
如果数列$\{a_n\}$的第n项$a_n$与它的①序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式。
提醒 数列的通项公式可能有多个,也可能不存在。

答案： 序号n

2. 数列与函数的关系
从函数的观点看,数列可以看作是特殊的函数,关系如表：

②正整数集$\mathbf{N}^{*}$ ③从小到大的顺序依次取值 ④列表法 ⑤图象法

答案： ②正整数集$\mathbf{N}^{*}$ ③从小到大的顺序依次取值 ④列表法 ⑤图象法

例2(对接教材例1)根据数列$\{a_n\}$的通项公式,写出数列$\{a_n\}$的前5项,并作出它们的图象。
(1)$a_n = (-1)^n + 2$；
(2)$a_n = -n + 1$。

答案：

(1)数列$\{a_{n}\}$的前5项依次是1,3,1,3,1,图象如图①所示 　　　　　　　　
(2)数列$\{a_{n}\}$的前5项依次为0,-1,-2,-3,-4,图象如图②所示. 　　　　　　　　 

跟踪训练2某种练习本单价5元,小王买了$n本(n\in\mathbf{N}^*,n\leqslant5)$该练习本。记$a_n为买n$本的总价,试用三种方法来表示数列$\{a_n\}$。

答案：
解:通项公式法:$a_{n}=5n(n\in\mathbf{N}^{*},n\leqslant5)$. 列表法:
 图象法: 　　　　　　　　

例3(对接教材例2)写出下列数列的一个通项公式：
(1)$9,99,999,9999,…$；
(2)$1,-3,5,-7,9,…$；
(3)$0,3,8,15,24,…$；
(4)$\frac{1}{2},2,\frac{9}{2},8,\frac{25}{2},…$。
(1)原数列各项加1后，变为10，100，1000，10000,$\cdots$,记为数列$\{b_{n}\}$,则数列$\{b_{n}\}$的通项公式为$b_{n}=10^{n}$,可得原数列$\{a_{n}\}$的一个通项公式为$a_{n}=10^{n}-1$.
(2)原数列各项的绝对值为1,3,5,7,$\cdots$,是连续的正奇数，记为数列$\{b_{n}\}$,则数列$\{b_{n}\}$的通项公式为$b_{n}=2n-1$.原数列奇数项为正，偶数项为负，所以原数列$\{a_{n}\}$的一个通项公式为$a_{n}=(-1)^{n+1}\cdot(2n-1)$.
(3)观察数列中的数，可以看到$0=1-1,3=4-1,8=9-1,15=16-1,24=25-1$,$\cdots$,所以它的一个通项公式是$a_{n}=n^{2}-1$.
(4)将数列中的各项统一成分数，各项变为$\frac{1}{2},\frac{4}{2},\frac{9}{2},\frac{16}{2},\frac{25}{2}$,$\cdots$,所以数列$\{a_{n}\}$的一个通项公式为$a_{n}=\frac{n^{2}}{2}$.

答案：
(1)原数列各项加1后，变为10，100，1000，10000,$\cdots$,记为数列$\{b_{n}\}$,则数列$\{b_{n}\}$的通项公式为$b_{n}=10^{n}$,可得原数列$\{a_{n}\}$的一个通项公式为$a_{n}=10^{n}-1$.
(2)原数列各项的绝对值为1,3,5,7,$\cdots$,是连续的正奇数，记为数列$\{b_{n}\}$,则数列$\{b_{n}\}$的通项公式为$b_{n}=2n-1$.原数列奇数项为正，偶数项为负，所以原数列$\{a_{n}\}$的一个通项公式为$a_{n}=(-1)^{n+1}\cdot(2n-1)$.
(3)观察数列中的数，可以看到$0=1-1,3=4-1,8=9-1,15=16-1,24=25-1$,$\cdots$,所以它的一个通项公式是$a_{n}=n^{2}-1$.
(4)将数列中的各项统一成分数，各项变为$\frac{1}{2},\frac{4}{2},\frac{9}{2},\frac{16}{2},\frac{25}{2}$,$\cdots$,所以数列$\{a_{n}\}$的一个通项公式为$a_{n}=\frac{n^{2}}{2}$.