《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第二册人教版青海专用》

2. 下列各项表示数列的是 (B)
A.$\triangle$,$◯$,$☆$,$□$
B.$211,985,211,985,211,985,…$
C.锐角三角形,直角三角形,钝角三角形
D.$a + b,a - b,a\cdot b,\lambda a$

答案： B

二 数列的分类
思考 已知数列：(1)$2,4,6,8,10,…$；
(2)$-1,1,-1,1,-1,…$；
(3)$5100,5100,5100,5100,5100$。
试分析这三个数列中的不同点。
从项数上来看:
(3)项数有限，
(1)
(2)项数无限;从项的变化上来看:
(1)每一项在依次变大，
(2)项的大小交替变化，
(3)项没有发生变化.

答案： 从项数上来看:
(3)项数有限，
(1)
(2)项数无限;从项的变化上来看:
(1)每一项在依次变大，
(2)项的大小交替变化，
(3)项没有发生变化.

答案： ①有限 ②无限 ③大于 ④小于 ⑤相等 ⑥大于 ⑦小于

例1下列数列中,哪些是有穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？
(1)$2021,2022,2023,2024,2025$；
(2)$0,\frac{1}{2},\frac{2}{3},…,\frac{n - 1}{n},…$；
(3)$1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},…,\frac{1}{2^{n - 1}},…$；
(4)$-\frac{1}{1×2},\frac{1}{2×3},-\frac{1}{3×4},\frac{1}{4×5},…$；
(5)$1,0,-1,…,\sin\frac{n\pi}{2},…$；
(6)$9,9,9,9,9,9$。
有穷数列有(1)(6);递增数列有(1)(2);递减数列有(3);常数列有(6).

答案： 有穷数列有
(1)
(6);递增数列有
(1)
(2);递减数列有
(3);常数列有
(6).

跟踪训练1给出下列数列：
①$1,2,2^2,2^3,2^4,…,2^{63}$；
②$-\frac{2}{3},-\frac{3}{4},-\frac{4}{5},…,-\frac{n + 1}{n + 2},…$；
③$1,2,3,…,10000$；
④$-1,1,-1,1,-1,1,…$；
⑤$1,2,3,5,8,13,21,…$；
⑥$\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2},…$。
其中,①③为有穷数列,②④⑤⑥为无穷数列,①③⑤为递增数列,②为递减数列,⑥为常数列。(填序号)

答案： ①③ ②④⑤⑥ ①③⑤ ② ⑥

三 数列的表示
思考1 数列中项与序号$n$之间存在某种关系,试写出以下三个数列中项与序号的关系。
(1)$2,4,6,8,10,…$；$a_{n}=2n,n\in\mathbf{N}^{*}$
(2)$-1,1,-1,1,-1,…$；$a_{n}=(-1)^{n},n\in\mathbf{N}^{*}$
(3)$5100,5100,5100,5100,5100$。$a_{n}=5100,n\in\{1,2,3,4,5\}$
思考2 若以序号$n$为自变量,以项$a_n$为函数值,可以将数列看作函数吗？两者具有一一对应的关系，可以看作特殊的函数.
思考3 回顾函数的表示方法：列表法、图象法、解析法,数列可以用上面的方法表示吗？可以.数列是自变量取1,2,3,$\cdots$时的离散函数.

答案： 思考1提示:
(1)$a_{n}=2n,n\in\mathbf{N}^{*}$.
(2)$a_{n}=(-1)^{n},n\in\mathbf{N}^{*}$.
(3)$a_{n}=5100,n\in\{1,2,3,4,5\}$. 思考2提示:两者具有一一对应的关系，可以看作特殊的函数. 思考3提示:可以.数列是自变量取1,2,3,$\cdots$时的离散函数.