《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第二册人教版青海专用》

从时刻 $ t= 0 $ 开始的 $ t $ s 内,通过某导体的电量 $ q $(单位：库仑)可以由公式 $ q= \cos t $ 表示,求第 5 秒和第 7 秒时的电流强度(单位：安).
由$q=\cos t$得,$q'=-\sin t,$所以$q'|_{t=5}=-\sin 5$,$q'|_{t=7}=-\sin 7$,即第5秒,第7秒时的电流强度分别是$-\sin 5$安,$-\sin 7$安.

答案： 由$q=\cos t$得,$q'=-\sin t,$所以$q'|_{t=5}=-\sin 5$,$q'|_{t=7}=-\sin 7$,即第5秒,第7秒时的电流强度分别是$-\sin 5$安,$-\sin 7$安.

1. 已知 $ f(x)= \ln x $,则 $ f^{\prime}(\mathrm{e}) $ 的值为(D)
A.1
B.-1
C.e
D.$ \frac{1}{\mathrm{e}} $

答案： 选 D.$f'(x)=\frac {1}{x}$,将$x=e$代入,得$f'(e)=\frac {1}{e}.$

2. (多选)下列选项正确的是(BCD)
A.$ y= \ln 2 $,则 $ y^{\prime}=\frac{1}{2} $
B.$ y= \frac{1}{x^{2}} $,则 $ \left.y^{\prime}\right|_{x= 3}= -\frac{2}{27} $
C.$ y= 2^{x} $,则 $ y^{\prime}=2^{x} \ln 2 $
D.$ y= \log _{2} x $,则 $ y^{\prime}=\frac{1}{x \ln 2} $

答案： 选 BCD.$y'=0$,故 A 错误;因为$y'=-\frac {2}{x^{3}}$,所以$y'|_{x=3}=-\frac {2}{27}$,故 B 正确;由求导公式易知 C,D 正确.

3. 曲线 $ y= \sin x $ 在点 $ T(2 \pi, 0) $ 处的切线的方程是(A)
A.$ x-y-2 \pi=0 $
B.$ x-y+2 \pi=0 $
C.$ x+y-2 \pi=0 $
D.$ x+y+2 \pi=0 $

答案： 选 A.因为$y'=(sinx)'=cosx$,所以曲线$y=sinx$在点$T(2π,0)$处的切线的斜率$k=cos2π=1$,所以曲线$y=sinx$在点$T(2π,0)$处的切线的方程是$y-0=1×(x-2π)$,即$x-y-2π=0$.故选 A.

4. 不饱和食盐溶液蒸发到一定程度时,会慢慢析出氯化钠晶体. 已知氯化钠晶体为立方体形状,当立方体的棱长 $ x $ 变化时,其体积 $ V $ 关于 $ x $ 的变化率是立方体表面积 $ S $ 的多少倍？
解:立方体的体积为$V(x)=x^{3}$,表面积为$S(x)=6x^{2}.$因为$V'(x)=(x^{3})'=3x^{2},$所以其体积关于x的变化率为$3x^{2}$,是立方体表面积的$\frac {1}{2}$倍.

答案： 解:立方体的体积为$V(x)=x^{3}$,表面积为$S(x)=6x^{2}.$因为$V'(x)=(x^{3})'=3x^{2},$所以其体积关于x的变化率为$3x^{2}$,是立方体表面积的$\frac {1}{2}$倍.