《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第二册人教版青海专用》

跟踪训练3写出下列数列的一个通项公式：
(1)$2,4,8,16,…$；
(2)$6,66,666,6666,66666,…$；
(3)$-\frac{1}{2},\frac{1}{6},-\frac{1}{12},\frac{1}{20},-\frac{1}{30},…$；
(4)$4,0,4,0,4,…$。
(1)$a_{n}=2^{n}$.
(2)$a_{n}=\frac{2}{3}(10^{n}-1)$.
(3)$a_{n}=\frac{(-1)^{n}}{n(n+1)}$.
(4)方法一:$a_{n}=-2\cos(n\pi)+2$；方法二:$a_{n}=(-1)^{n+1}×2+2$.

答案：
(1)$a_{n}=2^{n}$.
(2)$a_{n}=\frac{2}{3}(10^{n}-1)$.
(3)$a_{n}=\frac{(-1)^{n}}{n(n+1)}$.
(4)方法一:$a_{n}=-2\cos(n\pi)+2$；方法二:$a_{n}=(-1)^{n+1}×2+2$.

例4已知数列的通项公式为$a_n = n^2 - 7n + 6$。
(1)求这个数列的第4项；
(2)150是不是这个数列的项？若是,求出它是第几项；若不是,请说明理由。
母题探究 在本例中,条件不变。
(1)求该数列从第几项开始各项都是正数；
(2)求该数列的最小项是第几项,并求出最小项的值。
(1)$a_{4}=4^{2}-7×4+6=-6$.
(2)令$a_{n}=n^{2}-7n+6=150$,即$n^{2}-7n-144=0$,即$(n-16)(n+9)=0$,解得$n=16$或$n=-9$(舍去),故150是这个数列的项，是第16项. [母题探究]解:
(1)令$a_{n}=n^{2}-7n+6＞0$,即$(n-1)(n-6)＞0$,解得$n＜1$或$n＞6$,因为n为正整数，所以从第7项开始各项都为正数.
(2)由
(1)知$a_{n}=n^{2}-7n+6=\left(n-\frac{7}{2}\right)^{2}-\frac{25}{4}$,因为$n\in\mathbf{N}^{*}$,所以当$n=3$或$n=4$时,$a_{3}=a_{4}=-6$,即该数列的最小项是第3项与第4项，且最小项的值为-6.

答案：
(1)$a_{4}=4^{2}-7×4+6=-6$.
(2)令$a_{n}=n^{2}-7n+6=150$,即$n^{2}-7n-144=0$,即$(n-16)(n+9)=0$,解得$n=16$或$n=-9$(舍去),故150是这个数列的项，是第16项. [母题探究]解:
(1)令$a_{n}=n^{2}-7n+6＞0$,即$(n-1)(n-6)＞0$,解得$n＜1$或$n＞6$,因为n为正整数，所以从第7项开始各项都为正数.
(2)由
(1)知$a_{n}=n^{2}-7n+6=\left(n-\frac{7}{2}\right)^{2}-\frac{25}{4}$,因为$n\in\mathbf{N}^{*}$,所以当$n=3$或$n=4$时,$a_{3}=a_{4}=-6$,即该数列的最小项是第3项与第4项，且最小项的值为-6.

跟踪训练4已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n = \frac{1}{n(n + 2)}(n\in\mathbf{N}^*)$。
(1)计算$a_3 + a_4$的值；
(2)$\frac{1}{120}$是不是该数列中的项？若是,应为第几项？若不是,请说明理由。
(1)在数列$\{a_{n}\}$中,$a_{3}=\frac{1}{3×5}=\frac{1}{15}$,$a_{4}=\frac{1}{4×6}=\frac{1}{24}$,所以$a_{3}+a_{4}=\frac{1}{15}+\frac{1}{24}=\frac{13}{120}$.
(2)若$\frac{1}{120}$为数列$\{a_{n}\}$中的项，则$\frac{1}{n(n+2)}=\frac{1}{120}$,即$n(n+2)=120$,整理得$n^{2}+2n-120=0$,而$n\in\mathbf{N}^{*}$,解得$n=10$,所以$\frac{1}{120}$是数列$\{a_{n}\}$中的项，且是第10项.

答案：
(1)在数列$\{a_{n}\}$中,$a_{3}=\frac{1}{3×5}=\frac{1}{15}$,$a_{4}=\frac{1}{4×6}=\frac{1}{24}$,所以$a_{3}+a_{4}=\frac{1}{15}+\frac{1}{24}=\frac{13}{120}$.
(2)若$\frac{1}{120}$为数列$\{a_{n}\}$中的项，则$\frac{1}{n(n+2)}=\frac{1}{120}$,即$n(n+2)=120$,整理得$n^{2}+2n-120=0$,而$n\in\mathbf{N}^{*}$,解得$n=10$,所以$\frac{1}{120}$是数列$\{a_{n}\}$中的项，且是第10项.