《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第二册人教版青海专用》

2. 在等差数列 $\{ a_{n}\}$ 中,$S_{n}$ 是其前 $n$ 项和,若 $\frac{S_{4}}{S_{8}}= \frac{1}{3}$,则 $\frac{S_{8}}{S_{16}}= $ (A)
A.$\frac{3}{10}$
B.$\frac{1}{8}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{9}$

答案： 解析：选 A. 因为在等差数列{aₙ}中，S₄,S₈ - S₄,S₁₂ - S₈,S₁₆ - S₁₂ 成等差数列，设 S₄=x，因为 S₄/S₈=1/3，故 S₈=3x，所以 x,2x,S₁₂ - 3x,S₁₆ - S₁₂ 成等差数列，所以 S₁₂ - 3x=3x，S₁₆ - S₁₂=4x，即 S₁₂=6x，S₁₆=10x，则 S₆/S₁₆=3/10.

3. 已知 $S_{n}$ 是数列 $\{ a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和,若 $\{\frac{S_{n}}{n}\}$ 是等差数列,且 $a_{1}= -7$,$a_{2}+a_{3}= -8$.
(1)求 $S_{7}$ 的值;
(2)当 $n$ 为何值时,$S_{n}-n$ 的值最小?
(1)设等差数列{Sₙ/n}的公差为 d，则 S₁/1=a₁=-7，S₃/3=-7 + 2d，又 a₂ + a₃=-8，故 (S₃)/3=-7 + 2d，解得 d=1，所以 S₇/7=-7 + 6d=-1，故 S₇=-7.
(2)由(1)可得 Sₙ/n=-7 + (n - 1)×1=n - 8，故 Sₙ=n² - 8n，所以 Sₙ - n=n² - 9n=(n - 9/2)² - 81/4，因为 n∈N*，所以当 n=4 或 n=5 时，Sₙ - n 的值最小.

答案： 解：
(1)设等差数列{Sₙ/n}的公差为 d，则 S₁/1=a₁=-7，S₃/3=-7 + 2d，又 a₂ + a₃=-8，故 (S₃)/3=-7 + 2d，解得 d=1，所以 S₇/7=-7 + 6d=-1，故 S₇=-7.
(2)由
(1)可得 Sₙ/n=-7 + (n - 1)×1=n - 8，故 Sₙ=n² - 8n，所以 Sₙ - n=n² - 9n=(n - 9/2)² - 81/4，因为 n∈N*，所以当 n=4 或 n=5 时，Sₙ - n 的值最小.

[例 1]已知数列 $\{ a_{n}\}$ 满足 $a_{1}= 1$,且 $na_{n+1}-(n+1)a_{n}= 2n^{2}+2n$.
(1)求 $a_{2}$,$a_{3}$;6，15
(2)证明数列 $\{ \frac{a_{n}}{n}\}$ 是等差数列,并求 $\{ a_{n}\}$ 的通项公式.证明：由已知$na_{n+1}-(n + 1)a_{n}=2n^{2}+2n$，得$\frac{na_{n+1}-(n + 1)a_{n}}{n(n + 1)}=2$，即$\frac{a_{n+1}}{n + 1}-\frac{a_{n}}{n}=2$，又$\frac{a_{1}}{1}=1$，所以数列$\{\frac{a_{n}}{n}\}$是首项为1，公差为2的等差数列，则$\frac{a_{n}}{n}=1 + 2(n - 1)=2n - 1$，所以$a_{n}=2n^{2}-n$。

答案： 【解】
(1)由已知，得 a₂ - 2a₁=4，则 a₂=4 + 2a₁，又因为 a₁=1，所以 a₂=6. 由 2a₃ - 3a₂=12，得 2a₃=12 + 3×6，所以 a₃=15.
(2)由已知 naₙ₊₁ - (n + 1)aₙ=2n² + 2n，得 (naₙ₊₁ - (n + 1)aₙ)/(n(n + 1))=2，即 (aₙ₊₁)/(n + 1) - aₙ/n=2，又 a₁/1=1，所以数列{aₙ/n}是首项为 1，公差为 2 的等差数列，则 aₙ/n=1 + 2(n - 1)=2n - 1. 所以 aₙ=2n² - n.

[跟踪训练 1]已知数列 $\{ a_{n}\}$ 满足 $a_{1}= 2$,$a_{2}= 1$,且 $\frac{1}{a_{n - 1}}= \frac{2}{a_{n}}-\frac{1}{a_{n + 1}}(n\geq 2)$,则数列 $\{ a_{n}\}$ 的第 100 项为 (B)
A.$\frac{1}{100}$
B.$\frac{1}{50}$
C.$\frac{1}{2^{100}}$
D.$\frac{1}{2^{50}}$

答案： 解析：选 B. 因为 1/aₙ₋₁=2/aₙ - 1/aₙ₊₁(n≥2)，所以 1/aₙ₊₁ + 1/aₙ₋₁=2/aₙ(n≥2)，所以{1/aₙ}为等差数列，首项为 1/a₁=1/2，第 2 项为 1/a₂=1，所以公差 d=1/2，所以 1/a₁₀₀=1/a₁ + 99d=1/2 + 99×1/2=50，则 a₁₀₀=1/50.