《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第二册人教版青海专用》

[跟踪训练] (1) 已知直线 $y = kx + b$ 既是曲线 $y = \ln x$ 的切线,也是曲线 $y = -\ln(-x)$ 的切线,则 (A)
A.$k = \frac{1}{e}, b = 0$
B.$k = 1, b = 0$
C.$k = \frac{1}{e}, b = -1$
D.$k = 1, b = -1$

答案：
(1)解析:选A.方法一(设点法):设直线$y=kx+b$与曲线$y=\ln x$的切点坐标为$(x_1,\ln x_1)$，$x_1＞0$，直线$y=kx+b$与曲线$y=-\ln(-x)$的切点坐标为$(x_2,-\ln(-x_2))$，$x_2＜0$.
对$y=\ln x$求导得$y'=\frac{1}{x}$，
对$y=-\ln(-x)$求导得$y'=-\frac{1}{x}$，
所以有$\begin{cases}k=\frac{1}{x_1}=-\frac{1}{x_2},\\\ln x_1=kx_1+b,\\-\ln(-x_2)=kx_2+b,\end{cases}$
即$\begin{cases}x_1=-x_2,\\\ln x_1=b+1,\\-\ln(-x_2)=b-1,\end{cases}$解得$\begin{cases}b=0,\\x_1=e,\\x_2=-e,\end{cases}$
所以$k=\frac{1}{x_1}=\frac{1}{e}$.
方法二(代入法):对$y=\ln x$求导得$y'=\frac{1}{x}$，令$\frac{1}{x}=k=\frac{1}{e}$，得$x=e$，又$\ln e=1$，所以曲线$y=\ln x$在点$(e,1)$处的切线方程为$y-1=\frac{1}{e}(x-e)$，即$y=\frac{1}{e}x$，同理得曲线$y=-\ln(-x)$在点$(-e,-1)$处的切线方程为$y=\frac{1}{e}x$，结合选项知A正确.

(2) 已知函数 $f(x) = x^{2} + x$ 与函数 $g(x) = \ln x + 2x$。求曲线 $y = f(x)$ 与曲线 $y = g(x)$ 在公共点处的公切线方程。

答案：
(2)解:设曲线$y=f(x)$与曲线$y=g(x)$的公切点为$P(x_0,y_0)$，因为$f(x)=x^2+x$，$g(x)=\ln x+2x$，所以$f'(x)=2x+1$，$g'(x)=\frac{1}{x}+2$，
令$f'(x_0)=g'(x_0)$，即$2x_0+1=\frac{1}{x_0}+2$，
解得$x_0=1$或$x_0=-\frac{1}{2}$(舍去)，所以$P(1,2)$，$f'(1)=3$，
所以所求的公切线方程为$y-2=3(x-1)$，即$3x-y-1=0$.

一 函数的单调性与导数的关系
思考 观察下面几个图象,探究函数的单调性和导数的正负的关系。
提示:
(1)函数y=x的定义域为R,并且在定义域上是增函数,其导数y'=1＞0;
(2)函数y=x²的定义域为R,在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.而y'=2x,当x＜0时,y'＜0;当x＞0时,y'＞0;当x=0时,y'=0;
(3)函数y=x³的定义域为R,在定义域上为增函数.而y'=3x²,当x≠0时,y'＞0;当x=0时,y'=0;
(4)函数y=1/x的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递减,而y'=-1/x²,因为x≠0,所以y'＜0.
从以上四个函数的单调性及其导数符号的关系上说明,在区间(a,b)内,如果f'(x)＞0,那么函数y=f(x)在这个区间上单调递增;如果f'(x)＜0,那么函数y=f(x)在这个区间上单调递减.

答案： 提示:
(1)函数y=x的定义域为R,并且在定义域上是增函数,其导数y'=1＞0;
(2)函数y=x²的定义域为R,在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.而y'=2x,当x＜0时,y'＜0;当x＞0时,y'＞0;当x=0时,y'=0;
(3)函数y=x³的定义域为R,在定义域上为增函数.而y'=3x²,当x≠0时,y'＞0;当x=0时,y'=0;
(4)函数y=1/x的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递减,而y'=-1/x²,因为x≠0,所以y'＜0.
从以上四个函数的单调性及其导数符号的关系上说明,在区间(a,b)内,如果f'(x)＞0,那么函数y=f(x)在这个区间上单调递增;如果f'(x)＜0,那么函数y=f(x)在这个区间上单调递减.