《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第二册人教版青海专用》

[跟踪训练 1] (1)在等比数列$\{ a_{n}\}$中,若 $ a_{1}= 6 $,$ q = 2 $,$ a_{n}= 192 $,则 $ S_{n}= \underline{378} $。

答案：
(1)378

(2)等比数列 $ 1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},… $ 的前 $ 10 $ 项和 $ S_{10}= \underline{\quad\quad} $。

答案： 2)$\frac{1023}{512}$

[例 2](对接教材例 7(3))已知 $ S_{n} $ 为等比数列$\{ a_{n}\}$的前 $ n $ 项和,则
(1)若 $ S_{2}= 30 $,$ S_{3}= 155 $,求 $ S_{n} $；
(2)若 $ S_{n}= 189 $,$ q = 2 $,$ a_{n}= 96 $,求 $ a_{1} $ 和 $ n $。
(1)由题意知$\begin{cases} a_{1}(1+q)=30, \\ a_{1}(1+q+q^{2})=155, \end{cases}$解得$\begin{cases} a_{1}=5, \\ q=5 \end{cases}$或$\begin{cases} a_{1}=180, \\ q=-\frac{5}{6}, \end{cases}$从而$S_{n}=\frac{1}{4}\cdot 5^{n+1}-\frac{5}{4}$或$S_{n}=\frac{1080× \left \lbrack 1-\left( -\frac{5}{6}\right)^{n}\right\rbrack}{11}$.
(2)方法一:由已知条件得$\begin{cases} S_{n}=\frac{a_{1}(1-2^{n})}{1-2}=189, \\ a_{n}=a_{1}2^{n-1}=96, \end{cases}$两式相除解得$\begin{cases} a_{1}=3, \\ n=6. \end{cases}$ 方法二:由公式$S_{n}=\frac{a_{1}-a_{n}q}{1-q}$及条件得$189=\frac{a_{1}-96× 2}{1-2}$,解得$a_{1}=3$,又由$a_{n}=a_{1}q^{n-1}$,得$96=3× 2^{n-1}$,解得$n=6$.

答案：
(1)由题意知$\begin{cases} a_{1}(1+q)=30, \\ a_{1}(1+q+q^{2})=155, \end{cases}$解得$\begin{cases} a_{1}=5, \\ q=5 \end{cases}$或$\begin{cases} a_{1}=180, \\ q=-\frac{5}{6}, \end{cases}$从而$S_{n}=\frac{1}{4}\cdot 5^{n+1}-\frac{5}{4}$或$S_{n}=\frac{1080× \left \lbrack 1-\left( -\frac{5}{6}\right)^{n}\right\rbrack}{11}$.
(2)方法一:由已知条件得$\begin{cases} S_{n}=\frac{a_{1}(1-2^{n})}{1-2}=189, \\ a_{n}=a_{1}2^{n-1}=96, \end{cases}$两式相除解得$\begin{cases} a_{1}=3, \\ n=6. \end{cases}$ 方法二:由公式$S_{n}=\frac{a_{1}-a_{n}q}{1-q}$及条件得$189=\frac{a_{1}-96× 2}{1-2}$,解得$a_{1}=3$,又由$a_{n}=a_{1}q^{n-1}$,得$96=3× 2^{n-1}$,解得$n=6$.

[跟踪训练 2] 已知数列$\{ a_{n}\}$是等比数列,且其前 $ n $ 项和为 $ S_{n} $。
(1)若 $ q= \frac{1}{2} $,$ S_{6}= \frac{189}{4} $,求 $ a_{1} $；
(2)若 $ a_{2}= 6 $,$ 6a_{1}+a_{3}= 30 $,求 $ a_{n} $ 和 $ S_{n} $；
(3)若 $ a_{1}= 1 $,$ S_{6}= 4S_{3} $,求 $ S_{n} $。
(1)$S_{6}=\frac{a_{1}× \left \lbrack 1-\left( \frac{1}{2}\right)^{6}\right\rbrack}{1-\frac{1}{2}}=\frac{189}{4}$,解得$a_{1}=24$.
(2)设$\{a_{n}\}$的公比为$q$,由题设得$\begin{cases} a_{1}q=6, \\ 6a_{1}+a_{1}q^{2}=30. \end{cases}$解得$\begin{cases} a_{1}=3, \\ q=2 \end{cases}$或$\begin{cases} a_{1}=2, \\ q=3. \end{cases}$当$a_{1}=3$,$q=2$时,$a_{n}=3× 2^{n-1}$,$S_{n}=3× (2^{n}-1)$;当$a_{1}=2$,$q=3$时,$a_{n}=2× 3^{n-1}$,$S_{n}=3^{n}-1$.
(3)设等比数列$\{a_{n}\}$的公比为$q$,当$q=1$时,$S_{6}=6\neq 4S_{3}=12$,不符合题意;当$q\neq 1$时,由$S_{6}=4S_{3}$,得$\frac{a_{1}(1-q^{6})}{1-q}=\frac{4a_{1}(1-q^{3})}{1-q}$,所以$1-q^{6}=4(1-q^{3})$,则$(q^{3}-1)(q^{3}-3)=0$,则$q^{3}=3$或$q^{3}=1$(舍去),解得$q=3^{\frac{1}{3}}$,所以$S_{n}=\frac{1-3^{\frac{n}{3}}}{1-3^{\frac{1}{3}}}$.

答案：
(1)$S_{6}=\frac{a_{1}× \left \lbrack 1-\left( \frac{1}{2}\right)^{6}\right\rbrack}{1-\frac{1}{2}}=\frac{189}{4}$,解得$a_{1}=24$.
(2)设$\{a_{n}\}$的公比为$q$,由题设得$\begin{cases} a_{1}q=6, \\ 6a_{1}+a_{1}q^{2}=30. \end{cases}$解得$\begin{cases} a_{1}=3, \\ q=2 \end{cases}$或$\begin{cases} a_{1}=2, \\ q=3. \end{cases}$当$a_{1}=3$,$q=2$时,$a_{n}=3× 2^{n-1}$,$S_{n}=3× (2^{n}-1)$;当$a_{1}=2$,$q=3$时,$a_{n}=2× 3^{n-1}$,$S_{n}=3^{n}-1$.
(3)设等比数列$\{a_{n}\}$的公比为$q$,当$q=1$时,$S_{6}=6\neq 4S_{3}=12$,不符合题意;当$q\neq 1$时,由$S_{6}=4S_{3}$,得$\frac{a_{1}(1-q^{6})}{1-q}=\frac{4a_{1}(1-q^{3})}{1-q}$,所以$1-q^{6}=4(1-q^{3})$,则$(q^{3}-1)(q^{3}-3)=0$,则$q^{3}=3$或$q^{3}=1$(舍去),解得$q=3^{\frac{1}{3}}$,所以$S_{n}=\frac{1-3^{\frac{n}{3}}}{1-3^{\frac{1}{3}}}$.

[例 3] 记数列$\{ a_{n}\}$的前 $ n $ 项和 $ S_{n}= 2^{n}+\lambda $。
(1)当 $ \lambda = 3 $ 时,求$\{ a_{n}\}$的通项公式；
(2)是否存在实数 $ \lambda $,使得$\{ a_{n}\}$为等比数列？若存在,求出 $ \lambda $ 的值,若不存在,请说明理由。
(1)当$\lambda =3$时,$S_{n}=2^{n}+3$,所以$a_{1}=S_{1}=5$;当$n\geq 2$时,$a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=2^{n}+3-2^{n-1}-3=2^{n-1}$.又$a_{1}=5$不适合上式,所以$a_{n}=\begin{cases} 5,n=1, \\ 2^{n-1},n\geq 2. \end{cases}$
(2)由$S_{n}=2^{n}+\lambda$,得$a_{1}=S_{1}=2+\lambda$;当$n\geq 2$时,$a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=2^{n}+\lambda -2^{n-1}-\lambda =2^{n-1}$.若存在实数$\lambda$,使得$\{a_{n}\}$为等比数列,则$2+\lambda =2^{0}=1$,得$\lambda =-1$.故存在实数$\lambda =-1$,使得$\{a_{n}\}$为等比数列.

答案：
(1)当$\lambda =3$时,$S_{n}=2^{n}+3$,所以$a_{1}=S_{1}=5$;当$n\geq 2$时,$a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=2^{n}+3-2^{n-1}-3=2^{n-1}$.又$a_{1}=5$不适合上式,所以$a_{n}=\begin{cases} 5,n=1, \\ 2^{n-1},n\geq 2. \end{cases}$
(2)由$S_{n}=2^{n}+\lambda$,得$a_{1}=S_{1}=2+\lambda$;当$n\geq 2$时,$a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=2^{n}+\lambda -2^{n-1}-\lambda =2^{n-1}$.若存在实数$\lambda$,使得$\{a_{n}\}$为等比数列,则$2+\lambda =2^{0}=1$,得$\lambda =-1$.故存在实数$\lambda =-1$,使得$\{a_{n}\}$为等比数列.