《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第二册人教版青海专用》

一 等差数列前 $ n $ 项和的性质
思考 1
已知等差数列 $ \{ a_{n}\} $ 的前 $ n $ 项和为 $ S_{n} $,则 $ \left\{ \frac{S_{n}}{n} \right\} $ 是等差数列吗？
提示:由等差数列前n项和公式$S_{n}=na_{1}+\frac {n(n-1)}{2}d,$得$\frac {S_{n}}{n}=a_{1}+(n-1)\frac {d}{2},$所以数列$\{ \frac {S_{n}}{n}\} $是以$a_{1}$为首项,以$\frac {d}{2}$为公差的等差数列.
思考 2
设等差数列 $ \{ a_{n}\} $ 的前 $ n $ 项和为 $ S_{n} $,公差为 $ d $,你能发现 $ S_{n}, S_{2n} - S_{n}, S_{3n} - S_{2n} $ 的关系吗？
提示:$S_{2n}=a_{1}+a_{2}+... +a_{n}+a_{n+1}+... +a_{2n}=S_{n}+(a_{1}+nd)+(a_{2}+nd)+... +(a_{n}+nd)=2S_{n}+n^{2}d$,同样我们发现$S_{3n}=3S_{n}+3n^{2}d$,这里出现了一个数列$S_{n},S_{2n}-S_{n}=S_{n}+n^{2}d,S_{3n}-S_{2n}=S_{n}+2n^{2}d,...$,是一个公差为$n^{2}d$的等差数列.

答案： 思考1 提示:由等差数列前n项和公式$S_{n}=na_{1}+\frac {n(n-1)}{2}d,$得$\frac {S_{n}}{n}=a_{1}+(n-1)\frac {d}{2},$所以数列$\{ \frac {S_{n}}{n}\} $是以$a_{1}$为首项,以$\frac {d}{2}$为公差的等差数列.
思考2 提示:$S_{2n}=a_{1}+a_{2}+... +a_{n}+a_{n+1}+... +a_{2n}=S_{n}+(a_{1}+nd)+(a_{2}+nd)+... +(a_{n}+nd)=2S_{n}+n^{2}d$,同样我们发现$S_{3n}=3S_{n}+3n^{2}d$,这里出现了一个数列$S_{n},S_{2n}-S_{n}=S_{n}+n^{2}d,S_{3n}-S_{2n}=S_{n}+2n^{2}d,...$,是一个公差为$n^{2}d$的等差数列.

例 1
(1) 已知等差数列 $ \{ a_{n}\} $ 的前 $ n $ 项和为 $ S_{n} $,若 $ S_{4} = 2 $,$ S_{8} = 12 $,则 $ S_{20} = $ (D)
A.30
B.58
C.60
D.90

答案： 【解析】
(1)因为$S_{4},S_{8}-S_{4},S_{12}-S_{8},S_{16}-S_{12},S_{20}-S_{16}$为等差数列.由$S_{4}=2,S_{8}=12$,得$S_{8}-S_{4}=10$,故$S_{12}-S_{8}=18,S_{16}-S_{12}=26,S_{20}-S_{16}=34$,即$S_{12}=18+S_{8}=30,S_{16}=26+S_{12}=56,S_{20}=34+S_{16}=90.$【答案】
(1)D

(2) 在等差数列 $ \{ a_{n}\} $ 中,$ a_{1} = 1 $,其前 $ n $ 项和为 $ S_{n} $,若 $ \frac{S_{8}}{8} - \frac{S_{6}}{6} = 2 $,则 $ S_{10} = $ (B)
A.10
B.100
C.110
D.120

答案： 【解析】
(2)因为数列$\{ a_{n}\} $是等差数列,则数列$\{ \frac {S_{n}}{n}\} $也为等差数列,设其公差为$d'$,则$\frac {S_{8}}{8}-\frac {S_{6}}{6}=2d'$,则$d'=1$,又因为$\frac {S_{1}}{1}=a_{1}=1,$所以$\frac {S_{n}}{n}=1+(n-1)×1=n$,所以$S_{n}=n^{2},$所以$S_{10}=100.$【答案】
(2)B

(1) 设 $ S_{n} $ 是等差数列 $ \{ a_{n}\} $ 的前 $ n $ 项和,若 $ \frac{a_{8}}{a_{9}} = \frac{17}{15} $,则 $ \frac{S_{15}}{S_{17}} = $ (C)
A.2
B.-1
C.1
D.$ \frac{1}{2} $

答案： 解析:选C.因为$\frac {a_{8}}{a_{9}}=\frac {17}{15}$,所以$\frac {S_{15}}{S_{17}}=\frac {\frac {15}{2}(a_{1}+a_{15})}{\frac {17}{2}(a_{1}+a_{17})}=\frac {15a_{8}}{17a_{9}}=\frac {15}{17}×\frac {17}{15}=1.$