《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第二册人教版青海专用》

[例 3] 已知递增等差数列 $\{ a_n\}$ 的前三项之和为 $21$,前三项之积为 $231$,求数列 $\{ a_n\}$ 的通项公式。
由于数列$\{ a_n\}$为等差数列，因此可设前三项分别为$a-d,a,a+d$，于是可得$\left\{\begin{array}{l} (a-d)+a+(a+d)=21,\\ (a-d)\cdot a\cdot (a+d)=231,\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l} 3a=21,\\ a(a^{2}-d^{2})=231,\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l} a=7,\\ d=4\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l} a=7,\\ d=-4.\end{array}\right.$由于数列$\{ a_n\}$为递增数列，所以$\left\{\begin{array}{l} a=7,\\ d=4.\end{array}\right.$故等差数列$\{ a_n\}$的首项为3，公差为4，其通项公式为$a_n=4n - 1.$

答案： 由于数列$\{ a_n\}$为等差数列，因此可设前三项分别为$a-d,a,a+d$，于是可得$\left\{\begin{array}{l} (a-d)+a+(a+d)=21,\\ (a-d)\cdot a\cdot (a+d)=231,\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l} 3a=21,\\ a(a^{2}-d^{2})=231,\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l} a=7,\\ d=4\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l} a=7,\\ d=-4.\end{array}\right.$由于数列$\{ a_n\}$为递增数列，所以$\left\{\begin{array}{l} a=7,\\ d=4.\end{array}\right.$故等差数列$\{ a_n\}$的首项为3，公差为4，其通项公式为$a_n=4n - 1.$

[跟踪训练 3] 已知四个数成递增等差数列,中间两项的和为 $2$,首末两项的积为 $-8$,求这四个数。
方法一:设这四个数为$a,a+d,a+2d,a+3d$(公差为d)，依题意，$2a+3d=2,a(a+3d)=-8$，把$a=1-\frac {3}{2}d$代入$a(a+3d)=-8$，得$(1-\frac {3}{2}d)(1+\frac {3}{2}d)=-8$，解得$d=2$或$d=-2.$又四个数成递增等差数列，所以$d＞0$，所以$d=2,a=-2.$故所求的四个数为-2,0,2,4.方法二:设这四个数为$a-3d,a-d,a+d,a+3d$(公差为2d)，依题意，$2a=2,(a-3d)(a+3d)=-8$，解得$a=1,d=\pm 1$，又四个数成递增等差数列，所以$d＞0$，所以$d=1$，故所求的四个数为-2,0,2,4.

答案： 方法一:设这四个数为$a,a+d,a+2d,a+3d$(公差为d)，依题意，$2a+3d=2,a(a+3d)=-8$，把$a=1-\frac {3}{2}d$代入$a(a+3d)=-8$，得$(1-\frac {3}{2}d)(1+\frac {3}{2}d)=-8$，解得$d=2$或$d=-2.$又四个数成递增等差数列，所以$d＞0$，所以$d=2,a=-2.$故所求的四个数为-2,0,2,4.方法二:设这四个数为$a-3d,a-d,a+d,a+3d$(公差为2d)，依题意，$2a=2,(a-3d)(a+3d)=-8$，解得$a=1,d=\pm 1$，又四个数成递增等差数列，所以$d＞0$，所以$d=1$，故所求的四个数为-2,0,2,4.

[典例] 已知等差数列 $-2,1,4,7,10,…$,现在在其每相邻两项之间插入一个数,使之成为一个新的等差数列 $\{ a_n\}$。
(1) 求新数列 $\{ a_n\}$ 的通项公式；
(2) $a_{2026}$ 是原数列中的项吗？若是,求出是第几项,若不是,请说明理由。
(1)设原等差数列为$\{ b_n\}$，公差为d，$b_1=-2,b_2=1$，则$d=b_2 - b_1=3$，则$b_n=b_1+(n - 1)d=3n - 5$，因为每相邻两项之间插入一个数，则数列$\{ a_n\}$的公差$d'=\frac {3}{2}$，所以$a_n=-2+(n - 1)×\frac {3}{2}=\frac {3}{2}n-\frac {7}{2}.$
(2)由题知数列$\{ b_n\}$的各项依次是数列$\{ a_n\}$的第1,3,5,7,…项，这些下标构成一个首项为1，公差为2的等差数列$\{ c_n\}$，则$c_n=2n - 1.$令$2n - 1=2026$，解得$n=\frac {2027}{2}∉N^{*}$，所以$a_{2026}$不是原数列中的项.

答案：
(1)设原等差数列为$\{ b_n\}$，公差为d，$b_1=-2,b_2=1$，则$d=b_2 - b_1=3$，则$b_n=b_1+(n - 1)d=3n - 5$，因为每相邻两项之间插入一个数，则数列$\{ a_n\}$的公差$d'=\frac {3}{2}$，所以$a_n=-2+(n - 1)×\frac {3}{2}=\frac {3}{2}n-\frac {7}{2}.$
(2)由题知数列$\{ b_n\}$的各项依次是数列$\{ a_n\}$的第1,3,5,7,…项，这些下标构成一个首项为1，公差为2的等差数列$\{ c_n\}$，则$c_n=2n - 1.$令$2n - 1=2026$，解得$n=\frac {2027}{2}∉N^{*}$，所以$a_{2026}$不是原数列中的项.