《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第二册人教版青海专用》

等比数列前$n$项和的性质
思考 1
试用等比数列$\{ a_{n}\}$中的$S_{m}$,$S_{n}$来表示$S_{m + n}$？
提示:思路一:$S_{n+m}=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}+a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_{n+m}=S_{n}+a_{1}q^{n}+a_{2}q^{n}+\cdots +a_{m}q^{n}=S_{n}+q^{n}S_{m}.$ 思路二:$S_{n+m}=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{m}+a_{m+1}+a_{m+2}+\cdots +a_{n+m}=S_{m}+a_{1}q^{m}+a_{2}q^{m}+\cdots +a_{n}q^{m}=S_{m}+q^{m}S_{n}.$
思考 2
类似于等差数列中的片段和的性质,在等比数列中,你能发现$S_{n}$,$S_{2n}-S_{n}$,$S_{3n}-S_{2n}$($n为偶数且q = - 1$除外)的关系吗？
提示:$S_{n},S_{2n}-S_{n},S_{3n}-S_{2n}$成等比数列,证明如下: 由性质$S_{n+m}=S_{m}+q^{m}S_{n}$可知$S_{2n}=S_{n}+q^{n}S_{n},$ 故有$S_{2n}-S_{n}=q^{n}S_{n},S_{3n}=S_{2n}+q^{2n}S_{n}$,故有$S_{3n}-S_{2n}=q^{2n}S_{n},$ 故有$(S_{2n}-S_{n})^{2}=S_{n}(S_{3n}-S_{2n}),$ 所以$S_{n},S_{2n}-S_{n},S_{3n}-S_{2n}$成等比数列.
思考 3
类比等差数列前$n$项和性质中的奇数项、偶数项的问题,等比数列是否也有相似的性质？
提示:若等比数列$\{ a_{n}\} $的项数有2n项,则其偶数项和为$S_{偶}=a_{2}+a_{4}+\cdots +a_{2n},$ 其奇数项和为$S_{奇}=a_{1}+a_{3}+\cdots +a_{2n-1}$,容易发现两列式子中对应项之间存在联系,即$S_{偶}=a_{1}q+a_{3}q+\cdots +a_{2n-1}q=qS_{奇},$ 所以有$\frac {S_{偶}}{S_{奇}}=q.$ 若等比数列$\{ a_{n}\} $的项数有$2n+1$项,则其偶数项和为$S_{偶}=a_{2}+a_{4}+\cdots +a_{2n}$,其奇数项和为$S_{奇}=a_{1}+a_{3}+\cdots +a_{2n+1}$,从项数上来看,奇数项比偶数项多了一项,于是我们有$S_{奇}-a_{1}=a_{3}+a_{5}+\cdots +a_{2n+1}=a_{2}q+a_{4}q+\cdots +a_{2n}q=qS_{偶}$,即$S_{奇}=a_{1}+qS_{偶}.$

答案：  思考1 提示:思路一:$S_{n+m}=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}+a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_{n+m}=S_{n}+a_{1}q^{n}+a_{2}q^{n}+\cdots +a_{m}q^{n}=S_{n}+q^{n}S_{m}.$ 思路二:$S_{n+m}=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{m}+a_{m+1}+a_{m+2}+\cdots +a_{n+m}=S_{m}+a_{1}q^{m}+a_{2}q^{m}+\cdots +a_{n}q^{m}=S_{m}+q^{m}S_{n}.$ 思考2 提示:$S_{n},S_{2n}-S_{n},S_{3n}-S_{2n}$成等比数列,证明如下: 由性质$S_{n+m}=S_{m}+q^{m}S_{n}$可知$S_{2n}=S_{n}+q^{n}S_{n},$ 故有$S_{2n}-S_{n}=q^{n}S_{n},S_{3n}=S_{2n}+q^{2n}S_{n}$,故有$S_{3n}-S_{2n}=q^{2n}S_{n},$ 故有$(S_{2n}-S_{n})^{2}=S_{n}(S_{3n}-S_{2n}),$ 所以$S_{n},S_{2n}-S_{n},S_{3n}-S_{2n}$成等比数列. 思考3 提示:若等比数列$\{ a_{n}\} $的项数有2n项,则其偶数项和为$S_{偶}=a_{2}+a_{4}+\cdots +a_{2n},$ 其奇数项和为$S_{奇}=a_{1}+a_{3}+\cdots +a_{2n-1}$,容易发现两列式子中对应项之间存在联系,即$S_{偶}=a_{1}q+a_{3}q+\cdots +a_{2n-1}q=qS_{奇},$ 所以有$\frac {S_{偶}}{S_{奇}}=q.$ 若等比数列$\{ a_{n}\} $的项数有$2n+1$项,则其偶数项和为$S_{偶}=a_{2}+a_{4}+\cdots +a_{2n}$,其奇数项和为$S_{奇}=a_{1}+a_{3}+\cdots +a_{2n+1}$,从项数上来看,奇数项比偶数项多了一项,于是我们有$S_{奇}-a_{1}=a_{3}+a_{5}+\cdots +a_{2n+1}=a_{2}q+a_{4}q+\cdots +a_{2n}q=qS_{偶}$,即$S_{奇}=a_{1}+qS_{偶}.$ 

等比数列前$n$项和的性质
设等比数列$\{ a_{n}\}的前n项和为S_{n}$,公比为$q$,则：
(1)$S_{n + m}= S_{m}+\underline{①}$ $=S_{n}+\underline{②}$；
(2)当$m为偶数且q = - 1$除外时,$S_{m}$,$S_{2m}-S_{m}$,$\underline{③}$,…$$仍组成等比数列(公比为$q^{m}$)；
(3)当$n$是偶数时,则$\frac{S_{偶}}{S_{奇}}= \underline{④}$；当$n$是奇数时,则$\frac{S_{奇}-a_{1}}{S_{偶}}= q$；
(4)当$q = 1$时,$\frac{S_{n}}{S_{m}}= \frac{n}{m}$；当$q\neq\pm1$时,$\frac{S_{n}}{S_{m}}= \frac{1 - q^{n}}{1 - q^{m}}$。
①$q^{n}S_{m}$②$q^{m}S_{n}$③$S_{3n}-S_{2n}$④q

答案： ①$q^{n}S_{m}$ ②$q^{m}S_{n}$ ③$S_{3n}-S_{2n}$ ④q

例 1
(1)(对接教材例 9)已知数列$\{ a_{n}\}$是等比数列,$S_{n}为其前n$项和,若$a_{1}+a_{2}+a_{3}= 3$,$a_{4}+a_{5}+a_{6}= 9$,则$S_{12}= $(D)
A.$27$
B.$39$
C.$81$
D.$120$

答案： D

(2)已知正项等比数列$\{ a_{n}\}共有2n$项,它的所有项的和是奇数项和的$3$倍,则公比$q = $2。

答案： 2