《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第二册人教版青海专用》

一 等差数列的函数特性
思考 我们已经了解到数列是一种特殊的函数,根据等差数列的通项公式,你认为它与哪一类函数有关？
一次函数.由于$a_{n}=a_{1}+(n - 1)d = dn + (a_{1} - d)$,所以当$d≠0$时,等差数列$\{ a_{n}\} $的第$n$项$a_{n}$是一次函数$f(x) = dx + (a_{1} - d)(x∈R)$当$x = n$时的函数值,即$a_{n} = f(n)$,点$(n, a_{n})$则是函数$f(x) = dx + (a_{1} - d)$图象上的均匀分布的孤立的点,而$d$是直线$f(x) = dx + (a_{1} - d)$的斜率.

答案： 一次函数.由于$a_{n}=a_{1}+(n - 1)d = dn + (a_{1} - d)$,所以当$d≠0$时,等差数列$\{ a_{n}\} $的第$n$项$a_{n}$是一次函数$f(x) = dx + (a_{1} - d)(x∈R)$当$x = n$时的函数值,即$a_{n} = f(n)$,点$(n, a_{n})$则是函数$f(x) = dx + (a_{1} - d)$图象上的均匀分布的孤立的点,而$d$是直线$f(x) = dx + (a_{1} - d)$的斜率.

等差数列的通项公式与一次函数的关系
(1)若数列$\{ a_{n}\}$是等差数列,首项为$a_{1},$公差为d,则$a_{n}= f(n)= a_{1}+(n - 1)d = dn+(a_{1}-d).$
①点$(n,a_{n})$落在直线$y = dx+(a_{1}-d)$上,这条直线的斜率为$\textcircled{1}$d,在y轴上的截距为$\textcircled{2}$$a_{1}-d$.②这些点的横坐标每增加1,函数值增加$\textcircled{3}$d$.(2)\{ a_{n}\}$的公差为d,则$d＞0\Leftrightarrow \{ a_{n}\}$为$\textcircled{4}$递增数列；$d＜0\Leftrightarrow \{ a_{n}\}$为$\textcircled{5}$递减数列；$d = 0\Leftrightarrow \{ a_{n}\}$为常数列.

答案： ①$d$ ②$a_{1}-d$ ③$d$ ④递增 ⑤递减

例 1
已知$(2,-1)$,$(4,-7)是等差数列\{ a_{n}\}$的图象上的两点.
(1)求数列$\{ a_{n}\}$的通项公式；
(2)画出数列$\{ a_{n}\}$的图象；
(3)判断数列$\{ a_{n}\}$的单调性.

答案：

(1)设等差数列$\{ a_{n}\} $的首项为$a_{1}$,公差为$d$.因为$(2, - 1),(4, - 7)$是等差数列$\{ a_{n}\} $的图象上的两点,所以$a_{2} = - 1,a_{4} = - 7$,即$\begin{cases}a_{1}+d=-1\\a_{1}+3d=-7\end{cases}$,解得$\begin{cases}a_{1}=2\\d=-3\end{cases}$.因此$a_{n}=a_{1}+(n - 1)d = - 3n + 5$.
(2)等差数列$\{ a_{n}\} $的图象是均匀分布在直线$y = - 3x + 5$上的一系列离散的点,如图所示.

(3)因为公差$d = - 3 ＜ 0$,所以等差数列$\{ a_{n}\} $为递减数列.