《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第二册人教版青海专用》

[跟踪训练 4] (1)已知数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{n + 1}= 3a_{n}+2^{n + 1}$且$a_{1}= 1$,则$a_{n}=$$5\cdot 3^{n-1}-2^{n+1}$。

答案： （1）$5\cdot 3^{n-1}-2^{n+1}$

(2)已知数列$\{ a_{n}\}满足a_{1}= 1$,$na_{n + 1}-(n + 1)a_{n}= n^{2}+n$,设$b_{n}= \frac{a_{n}}{n}$。则$b_{n}= $____。

答案： （2）n

[例 6] 已知数列$\{ a_{n}\}满足a_{1}= 1$,$a_{n + 1}= \frac{a_{n}}{a_{n}+2}$,则此数列的通项公式$a_{n}= $$\frac{1}{2^{n}-1}$。

答案： $\frac{1}{2^{n}-1}$

[跟踪训练 5] 已知数列$\{ a_{n}\}$中,$a_{1}= 1且a_{n + 1}= \frac{3a_{n}}{a_{n}+3}(n\in\mathbf{N}^{*})$,则$a_{16}= $ (A)
A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{2}$

答案： A

[例1] 已知等差数列$\{ a_{n}\}满足a_{1} + a_{2} = 10$,$a_{5} - a_{3} = 4$.
(1)求$\{ a_{n}\}$的通项公式；
(2)设等比数列$\{ b_{n}\}满足b_{2} = a_{3}$,$b_{3} = a_{7}$,设$c_{n} = a_{n} + b_{n}$,求数列$\{ c_{n}\}的前n项和S_{n}$.
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【解】（1）设等差数列{aₙ}的公差为d，
则d= $\frac{a_5 - a_3}{5 - 3} = \frac{4}{2} = 2$.
由a₁+a₂=10，得a₁+a₁+2=10，解得a₁=4.
所以aₙ=4+2(n-1)=2n+2.
（2）设等比数列{bₙ}的公比为q，
则b₂=a₃=8，b₃=a₇=16，
所以q= $\frac{b_3}{b_2} = \frac{16}{8} = 2$,
所以b₁= $\frac{b_2}{q} = 4$,
所以bₙ=4×2ⁿ⁻¹=2ⁿ⁺¹.
则cₙ=aₙ+bₙ=2n+2+2ⁿ⁺¹，
则Sₙ=[4+6+…+(2n+2)]+ $\frac{4(1 - 2^n)}{1 - 2} = \frac{n(4 + 2n + 2)}{2}$ +4(2ⁿ-1)=2ⁿ⁺²+n²+3n-4.

答案： 【解】（1）设等差数列{aₙ}的公差为d，
则d= $\frac{a_5 - a_3}{5 - 3} = \frac{4}{2} = 2$.
由a₁+a₂=10，得a₁+a₁+2=10，解得a₁=4.
所以aₙ=4+2(n-1)=2n+2.
（2）设等比数列{bₙ}的公比为q，
则b₂=a₃=8，b₃=a₇=16，
所以q= $\frac{b_3}{b_2} = \frac{16}{8} = 2$,
所以b₁= $\frac{b_2}{q} = 4$,
所以bₙ=4×2ⁿ⁻¹=2ⁿ⁺¹.
则cₙ=aₙ+bₙ=2n+2+2ⁿ⁺¹，
则Sₙ=[4+6+…+(2n+2)]+ $\frac{4(1 - 2^n)}{1 - 2} = \frac{n(4 + 2n + 2)}{2}$ +4(2ⁿ-1)=2ⁿ⁺²+n²+3n-4.