《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第二册人教版青海专用》

应用点 等差数列前 $ n $ 项和的实际应用
例 3
某车间全年共生产 2250 个零件,已知 1 月该车间生产了 105 个零件,且每月该车间生产零件的个数按等差数列递增,则该车间从 2 月起每月比前一个月多生产多少个零件？该车间 12 月生产多少个零件？
【解】设每个月生产的零件数构成以d为公差的等差数列$\{ a_{n}\} (1≤n≤12,n∈N^{*})$,其前n项和为$S_{n}$,则$a_{1}=105,S_{12}=2250,d＞0,$则$S_{12}=12a_{1}+\frac {12×(12-1)d}{2}=2250$,即$12×105+$$\frac {12×(12-1)d}{2}=2250$,解得$d=15,$所以$a_{12}=a_{1}+(12-1)d=105+11×15=270,$故该车间从2月起每月比前一个月多生产15个零件,该车间12月生产270个零件.

答案： 【解】设每个月生产的零件数构成以d为公差的等差数列$\{ a_{n}\} (1≤n≤12,n∈N^{*})$,其前n项和为$S_{n}$,则$a_{1}=105,S_{12}=2250,d＞0,$则$S_{12}=12a_{1}+\frac {12×(12-1)d}{2}=2250$,即$12×105+$$\frac {12×(12-1)d}{2}=2250$,解得$d=15,$所以$a_{12}=a_{1}+(12-1)d=105+11×15=270,$故该车间从2月起每月比前一个月多生产15个零件,该车间12月生产270个零件.

蚊香具有悠久的历史,我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关。如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”。画法如下：在水平直线上取长度为 1 的线段 $ AB $,作一个等边三角形 $ ABC $,然后以点 $ B $ 为圆心,$ AB $ 为半径逆时针画圆弧交线段 $ CB $ 的延长线于点 $ D $(第一段圆弧),再以点 $ C $ 为圆心,$ CD $ 为半径逆时针画圆弧交线段 $ AC $ 的延长线于点 $ E $,再以点 $ A $ 为圆心,$ AE $ 为半径逆时针画圆弧……以此类推,当得到的“蚊香”恰好有 15 段圆弧时,“蚊香”的长度为 (D)

A.$ 44\pi $
B.$ 64\pi $
C.$ 70\pi $
D.$ 80\pi $

答案： 解析:选D.由题意知每段圆弧的中心角都是$\frac {2π}{3},$每段圆弧的半径依次增加1,则第n段圆弧的半径为n,弧长记为$a_{n},$则$a_{n}=\frac {2π}{3}\cdot n,$所以$S_{15}=\frac {2π}{3}×(1+2+3+... +15)=80π.$

1. 在等差数列$\{ a_{n}\}$中,如果$a_{1}+a_{2}= 40$,$a_{3}+a_{4}= 60$,那么$a_{7}+a_{8}= $(100)
A.$95$
B.$100$
C.$135$
D.$80$

答案： 解析: 选 B. 在等差数列 $\{ a_{n}\} $ 中,$a_{1}+a_{2},a_{3}+a_{4},a_{5}+a_{6},a_{7}+a_{8}$ 成等差数列,设其公差为 d,则 $d=a_{3}+a_{4}-(a_{1}+a_{2})=60-40=20$,则 $a_{7}+a_{8}=a_{1}+a_{2}+3d=40+3×20=100.$

2. 在等差数列$\{ a_{n}\}$中,$S_{10}= 120$,且在这$10$项中,$\frac{S_{奇}}{S_{偶}}= \frac{11}{13}$,则公差$d=$(2)
A.$2$
B.$3$
C.$4$
D.$5$

答案： 解析: 选 A. 在等差数列前 10 项中,$\left\{\begin{array}{l} S_{奇}+S_{偶}=120,\\ \frac {S_{奇}}{S_{偶}}=\frac {11}{13}\end{array}\right. $得 $\left\{\begin{array}{l} S_{奇}=55,\\ S_{偶}=65,\end{array}\right. $所以 $S_{偶}-S_{奇}=5d=10$,所以 $d=2.$

3. 现有$200$根相同的钢管,把它们堆成正三角形垛,要使剩余的钢管尽可能少,那么剩余钢管的根数为10。

答案： 解析: 由题意知钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列,设其前 n 项和为 $S_{n}$,最上面一层钢管数为 1,逐层增加 1 个.所以钢管总数 $S_{n}=1+2+3+... +n=\frac {n(n+1)}{2}$.当 n $=19$ 时,$S_{19}=190$,当 $n=20$ 时,$S_{20}=210＞200$,所以当 $n=19$ 时,剩余钢管根数最少,为 $200-190=10$(根). 答案:10

4. 已知数列$\{ a_{n}\}$是一个等差数列,且$a_{2}= 1$,$a_{5}= -5$。
(1)求数列$\{ a_{n}\}$的通项公式；
(2)求数列$\{ a_{n}\}的前n项和S_{n}$的最大值。

答案： 解:
(1)设等差数列 $\{ a_{n}\} $ 的公差为 d. 由已知得 $d=\frac {a_{5}-a_{2}}{5-2}=\frac {-5-1}{5-2}=-2$,所以 $a_{n}=a_{2}+(n-2)d=1+(n-2)×(-2)=-2n+5.$
(2)由
(1)得 $a_{1}=3,S_{n}=3n+\frac {n(n-1)}{2}×(-2)=-n^{2}+4n=-(n-2)^{2}+4.$ 所以当 $n=2$ 时,前 n 项和 $S_{n}$ 取得最大值,最大值为 4.