《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第二册人教版青海专用》

函数的单调性与导数的关系

提醒 在区间$(a,b)$内,$f'(x) ＞ 0$(或$＜ 0$)是$y = f(x)在区间(a,b)$上单调递增(或减)的充分不必要条件。如$f(x) = x^3是\mathbf{R}$上的可导函数,也在$\mathbf{R}$上单调递增,但当$x = 0$时,$f'(x) = 0$。

答案： ①增 ②减

[例 1](对接教材例 1)利用导数判断下列函数的单调性：
(1)$f(x)= \frac{1}{3}x^3 - x^2 + 2x - 5$；
(2)$f(x)= x - \frac{1}{x} - \ln x$；
(3)$f(x)= x - e^x(x ＞ 0)$。（1）$f(x)$在$R$上单调递增；（2）$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增；（3）$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递减。

答案： 1. （1）
首先求$f(x)=\frac{1}{3}x^{3}-x^{2}+2x - 5$的导数：
根据求导公式$(X^{n})^\prime=nX^{n - 1}$，$(x^3)^\prime = 3x^2$，$(x^2)^\prime = 2x$，$(x)^\prime = 1$，常数的导数为$0$，则$f^\prime(x)=x^{2}-2x + 2$。
对于二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$，这里$a = 1$，$b=-2$，$c = 2$，其判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4×1×2=4 - 8=-4\lt0$，且$a = 1\gt0$。
所以$f^\prime(x)=x^{2}-2x + 2=(x - 1)^{2}+1\gt0$恒成立。
所以$f(x)$在$R$上单调递增。
2. （2）
求$f(x)=x-\frac{1}{x}-\ln x$的导数：
根据求导公式$(x)^\prime = 1$，$(\frac{1}{x})^\prime=-\frac{1}{x^{2}}$，$(\ln x)^\prime=\frac{1}{x}$，则$f^\prime(x)=1+\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x}=\frac{x^{2}-x + 1}{x^{2}}$。
对于二次函数$y=x^{2}-x + 1$，$a = 1$，$b=-1$，$c = 1$，$\Delta=b^{2}-4ac=(-1)^{2}-4×1×1=1 - 4=-3\lt0$，且$a = 1\gt0$，$x^{2}\gt0$（$x\gt0$，因为$y = \ln x$中$x\gt0$）。
所以$f^\prime(x)=\frac{x^{2}-x + 1}{x^{2}}\gt0$在$(0,+\infty)$上恒成立。
所以$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增。
3. （3）
求$f(x)=x - e^{x}(x\gt0)$的导数：
根据求导公式$(x)^\prime = 1$，$(e^{x})^\prime=e^{x}$，则$f^\prime(x)=1 - e^{x}$。
因为$x\gt0$，函数$y = e^{x}$在$R$上单调递增，所以$e^{x}\gt e^{0}=1$。
那么$f^\prime(x)=1 - e^{x}\lt0$在$(0,+\infty)$上恒成立。
所以$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递减。
综上，（1）$f(x)$在$R$上单调递增；（2）$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增；（3）$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递减。

[跟踪训练 1](多选)下列函数在定义域上为增函数的是(BC)
A.$f(x)= x\ln x$
B.$f(x)= \ln x + x$
C.$f(x)= x - \cos x$
D.$f(x)= x^2e^x$

答案： 解析:选BC.因为f(x)=xln x,所以f'(x)=ln x+1(x＞0),当x＞1/e时,f'(x)＞0,f(x)在(1/e,+∞)上单调递增,当0＜x＜1/e时,f'(x)＜0,f(x)在(0,1/e)上单调递减,故A不符合题意;因为f(x)=ln x+x(x＞0),所以f'(x)=1/x+1,当x＞0时,f'(x)＞0,f(x)在(0,+∞)上单调递增,故B符合题意;因为f(x)=x-cos x,所以f'(x)=1+sin x≥0恒成立,所以f(x)在R上单调递增,故C符合题意;因为f(x)=x²eˣ,所以f'(x)=eˣ(2x+x²),当-2＜x＜0时,f'(x)＜0,f(x)在(-2,0)上单调递减,当x＜-2或x＞0时,f'(x)＞0,f(x)在(-∞,-2)和(0,+∞)上单调递增,故D不符合题意.

[例 2](对接教材例 3)求下列函数的单调区间。
(1)$f(x)= 2x^3 + 3x^2 - 36x + 1$；
(2)$f(x)= 3x^2 - 2\ln x$。(1)单调递增区间是$(-\infty,-3)$和$(2,+\infty)$，单调递减区间是$(-3,2)$；(2)单调递增区间是$(\frac{\sqrt{3}}{3},+\infty)$，单调递减区间是$(0,\frac{\sqrt{3}}{3})$

答案： 1. 对于函数$f(x)=2x^{3}+3x^{2}-36x + 1$：
首先求导：
根据求导公式$(X^{n})^\prime=nX^{n - 1}$，$f^\prime(x)=(2x^{3}+3x^{2}-36x + 1)^\prime$。
$f^\prime(x)=2×3x^{2}+3×2x-36$，即$f^\prime(x)=6x^{2}+6x - 36$。
提取公因式$6$得$f^\prime(x)=6(x^{2}+x - 6)$。
因式分解$x^{2}+x - 6=(x + 3)(x - 2)$，所以$f^\prime(x)=6(x + 3)(x - 2)$。
然后求单调区间：
令$f^\prime(x)＞0$，即$6(x + 3)(x - 2)＞0$，因为$6＞0$，则$(x + 3)(x - 2)＞0$。
解不等式$(x + 3)(x - 2)＞0$，根据二次函数$y=(x + 3)(x - 2)=x^{2}+x - 6$（二次函数$y = ax^{2}+bx + c$，$a = 1＞0$，图象开口向上），其零点为$x=-3$和$x = 2$，所以不等式的解为$x＜-3$或$x＞2$。
令$f^\prime(x)＜0$，即$6(x + 3)(x - 2)＜0$，因为$6＞0$，则$(x + 3)(x - 2)＜0$，解不等式得$-3＜x＜2$。
所以$f(x)$的单调递增区间是$(-\infty,-3)$和$(2,+\infty)$，单调递减区间是$(-3,2)$。
2. 对于函数$f(x)=3x^{2}-2\ln x$：
首先求定义域：
因为对数函数$y = \ln x$的定义域为$(0,+\infty)$，所以$f(x)$的定义域为$(0,+\infty)$。
然后求导：
根据求导公式$(X^{n})^\prime=nX^{n - 1}$，$(\ln x)^\prime=\frac{1}{x}$，则$f^\prime(x)=(3x^{2}-2\ln x)^\prime$。
$f^\prime(x)=3×2x-\frac{2}{x}$，即$f^\prime(x)=6x-\frac{2}{x}=\frac{6x^{2}-2}{x}$。
提取公因式$2$得$f^\prime(x)=\frac{2(3x^{2}-1)}{x}$。
接着求单调区间：
令$f^\prime(x)＞0$，即$\frac{2(3x^{2}-1)}{x}＞0$，因为$x＞0$（定义域），$2＞0$，则$3x^{2}-1＞0$。
解不等式$3x^{2}-1＞0$（$x＞0$），$3x^{2}-1＞0$可化为$x^{2}＞\frac{1}{3}$，解得$x＞\frac{\sqrt{3}}{3}$。
令$f^\prime(x)＜0$，即$\frac{2(3x^{2}-1)}{x}＜0$，因为$x＞0$（定义域），$2＞0$，则$3x^{2}-1＜0$。
解不等式$3x^{2}-1＜0$（$x＞0$），$3x^{2}-1＜0$可化为$x^{2}＜\frac{1}{3}$，解得$0＜x＜\frac{\sqrt{3}}{3}$。
所以：
(1) $f(x)=2x^{3}+3x^{2}-36x + 1$的单调递增区间是$(-\infty,-3)$和$(2,+\infty)$，单调递减区间是$(-3,2)$；
(2) $f(x)=3x^{2}-2\ln x$的单调递增区间是$(\frac{\sqrt{3}}{3},+\infty)$，单调递减区间是$(0,\frac{\sqrt{3}}{3})$。