《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第二册人教版青海专用》

已知 $ f(x) = \dfrac{1}{x} $,试比较 $ f'(-1) $ 与 $ f'(3) $ 的大小关系。
$f'(-1)\lt f'(3)$

答案： $f'(-1)\lt f'(3)$

例 3
(对接教材例 4) 已知 $ y = f(x) $ 的图象如图所示,则 $ f'(x_A) $ 与 $ f'(x_B) $ 的大小关系是 (B)

A.$ f'(x_A) ＞ f'(x_B) $
B.$ f'(x_A) ＜ f'(x_B) $
C.$ f'(x_A) = f'(x_B) $
D.$ f'(x_A) \leq f'(x_B) $

答案： B

已知函数 $ f(x) $ 在 $ \mathbf{R} $ 上可导,且 $ y = f(x) $ 的部分图象如图所示,设 $ \dfrac{f(2) - f(1)}{2 - 1} = a $,则下列不等式正确的是
(B)

A.$ f'(1) ＜ f'(2) ＜ a $
B.$ f'(1) ＜ a ＜ f'(2) $
C.$ f'(2) ＜ f'(1) ＜ a $
D.$ a ＜ f'(1) ＜ f'(2) $

答案： B

1. 设 $ f'(x_0) = 0 $,则曲线 $ y = f(x) $ 在点 $ (x_0, f(x_0)) $ 处的切线(B)
A.不存在
B.与 $ x $ 轴平行或重合
C.与 $ x $ 轴垂直
D.与 $ x $ 轴斜交

答案： 解析:选 B. 因为$f'(x_{0})=0$,所以曲线$y=f(x)$在点$(x_{0},f(x_{0}))$处的切线斜率为0,即该切线与x轴平行或重合.

2. (多选)曲线 $ f(x) = x^3 - 3x^2 + 1 $ 在点 $ P $ 处的切线平行于直线 $ y = 9x - 1 $,则切线方程为(BD)
A.$ y = 9x $
B.$ y = 9x - 26 $
C.$ y = 9x + 26 $
D.$ y = 9x + 6 $

答案： 解析:选 BD. 设$P(x_{0},x_{0}^{3}-3x_{0}^{2}+1),$$f'(x_{0})=\lim\limits _{\triangle x→0}\frac {\triangle f}{\triangle x}=\lim\limits _{\triangle x→0}\frac {(x_{0}+\triangle x)^{3}-3(x_{0}+\triangle x)^{2}+1-(x_{0}^{3}-3x_{0}^{2}+1)}{\triangle x}$$=3x_{0}^{2}-6x_{0}=9,$即$x_{0}^{2}-2x_{0}-3=0,$解得$x_{0}=-1$或$x_{0}=3.$所以点 P 的坐标为$(-1,-3)$或$(3,1)$. 所以切线方程为$y+3=9(x+1)$或$y-1=9(x-3),$即$y=9x+6$或$y=9x-26.$