《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第二册人教版青海专用》

(1)已知$S_n为等差数列\{a_n\}的前n$项和,$a_3 + a_6 = 25$,$S_5 = 40$,则数列$\{a_n\}的公差d = $(B)
A.$4$
B.$3$
C.$2$
D.$1$

答案： B

(2)计算：$1 + 4 + 7 + … + (3n - 2) = $ $\frac{(3n-1)n}{2}$。

答案： $\frac{(3n-1)n}{2}$

例2
已知数列$\{a_n\}$的前n项和为$S_n = 2n^2 - 3n$,求数列$\{a_n\}$的通项公式,并判断数列$\{a_n\}$是否为等差数列,若是,请证明；若不是,请说明理由。
当n=1时,a₁=S₁=-1;当n≥2时,aₙ=Sₙ-Sₙ₋₁=2n²-3n-2(n-1)²+3(n-1)=4n-5,经检验,当n=1时,a₁=-1满足上式,故aₙ=4n-5.又因为aₙ₊₁-aₙ=4(n+1)-5-4n+5=4,所以数列{aₙ}是等差数列.
母题探究
若数列$\{a_n\}$的前n项和为$S_n = 2n^2 - 3n - 1$,求数列$\{a_n\}$的通项公式,并判断数列$\{a_n\}$是否为等差数列。若是,请证明；若不是,请说明理由。
因为Sₙ=2n²-3n-1,①当n=1时,a₁=S₁=2-3-1=-2,当n≥2时,Sₙ₋₁=2(n-1)²-3(n-1)-1,②①-②得aₙ=Sₙ-Sₙ₋₁=2n²-3n-1-[2(n-1)²-3(n-1)-1]=4n-5,经检验当n=1时,a₁=-2不满足上式,故aₙ=$\left\{\begin{array}{l}-2,n=1,\\ 4n-5,n≥2.\end{array}\right.$故数列{aₙ}不是等差数列,数列{aₙ}从第2项起是以4为公差的等差数列.

答案： 当n=1时,a₁=S₁=-1;当n≥2时,aₙ=Sₙ-Sₙ₋₁=2n²-3n-2(n-1)²+3(n-1)=4n-5,经检验,当n=1时,a₁=-1满足上式,故aₙ=4n-5.又因为aₙ₊₁-aₙ=4(n+1)-5-4n+5=4,所以数列{aₙ}是等差数列.
母题探究：因为Sₙ=2n²-3n-1,①当n=1时,a₁=S₁=2-3-1=-2,当n≥2时,Sₙ₋₁=2(n-1)²-3(n-1)-1,②①-②得aₙ=Sₙ-Sₙ₋₁=2n²-3n-1-[2(n-1)²-3(n-1)-1]=4n-5,经检验当n=1时,a₁=-2不满足上式,故aₙ=$\left\{\begin{array}{l}-2,n=1,\\ 4n-5,n≥2.\end{array}\right.$故数列{aₙ}不是等差数列,数列{aₙ}从第2项起是以4为公差的等差数列.

已知数列$\{a_n\}$的各项均为正数,其前$n项和为S_n$,且满足$2S_n = 2a_n^2 + a_n - 1$,$n \in \mathbf{N}^*$。证明：数列$\{a_n\}$是等差数列。
当n=1时,2S₁=2a₁=2a₁²+a₁-1,得a₁=1(负值已舍去),当n≥2时,2Sₙ₋₁=2aₙ₋₁²+aₙ₋₁-1,又2Sₙ=2aₙ²+aₙ-1,两式相减得2aₙ=2aₙ²-2aₙ₋₁²+aₙ-aₙ₋₁,整理得aₙ+aₙ₋₁=2aₙ²-2aₙ₋₁²=2(aₙ-aₙ₋₁)(aₙ+aₙ₋₁),因为aₙ+aₙ₋₁≠0,所以aₙ-aₙ₋₁=$\frac{1}{2}$(n≥2),所以数列{aₙ}是以1为首项,$\frac{1}{2}$为公差的等差数列.

答案： 当n=1时,2S₁=2a₁=2a₁²+a₁-1,得a₁=1(负值已舍去),当n≥2时,2Sₙ₋₁=2aₙ₋₁²+aₙ₋₁-1,又2Sₙ=2aₙ²+aₙ-1,两式相减得2aₙ=2aₙ²-2aₙ₋₁²+aₙ-aₙ₋₁,整理得aₙ+aₙ₋₁=2aₙ²-2aₙ₋₁²=2(aₙ-aₙ₋₁)(aₙ+aₙ₋₁),因为aₙ+aₙ₋₁≠0,所以aₙ-aₙ₋₁=$\frac{1}{2}$(n≥2),所以数列{aₙ}是以1为首项,$\frac{1}{2}$为公差的等差数列.

例3
若等差数列$\{a_n\}$的首项$a_1 = 13$,公差$d = -4$,记$T_n = |a_1| + |a_2| + … + |a_n|$,求$T_n$。
因为$a₁=13,d=-4$,所以$aₙ=17-4n$.令$aₙ=17-4n≥0$,得$n≤\frac{17}{4}$,又因为$n∈N*$,所以$n≤4$,则当$n≤4$时,$Tₙ=|a₁|+|a₂|+…+|aₙ|=a₁+a₂+…+aₙ=na₁+\frac{n(n-1)}{2}d=13n+\frac{n(n-1)}{2}×(-4)=15n-2n²$;记等差数列$\{aₙ\}$的前$n$项和为$Sₙ$.当$n≥5$时,$Tₙ=|a₁|+|a₂|+…+|aₙ|=(a₁+a₂+a₃+a₄)-(a₅+a₆+…+aₙ)=S₄-(Sₙ-S₄)=2S₄-Sₙ=2×\frac{(13+1)×4}{2}-(15n-2n²)=56+2n²-15n$.所以$Tₙ=\left\{\begin{array}{l}15n-2n²,n≤4,\\ 2n²-15n+56,n≥5.\end{array}\right.$

答案： 因为a₁=13,d=-4,所以aₙ=17-4n.令aₙ=17-4n≥0,得n≤$\frac{17}{4}$,又因为n∈N*,所以n≤4,则当n≤4时,Tₙ=|a₁|+|a₂|+…+|aₙ|=a₁+a₂+…+aₙ=na₁+$\frac{n(n-1)}{2}$d=13n+$\frac{n(n-1)}{2}$×(-4)=15n-2n²;记等差数列{aₙ}的前n项和为Sₙ.当n≥5时,Tₙ=|a₁|+|a₂|+…+|aₙ|=(a₁+a₂+a₃+a₄)-(a₅+a₆+…+aₙ)=S₄-(Sₙ-S₄)=2S₄-Sₙ=2×$\frac{(13+1)×4}{2}$-(15n-2n²)=56+2n²-15n.所以Tₙ=$\left\{\begin{array}{l}15n-2n²,n≤4,\\ 2n²-15n+56,n≥5.\end{array}\right.$