《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第二册人教版青海专用》

一 等差数列的概念
观察下面几个问题中的数列,回答下面的问题。
(1)我国确定鞋号的脚长以毫米为单位来表示,常用的中国鞋号按从大到小的顺序可排列为：45,44,43,42,41,40,…；
(2)为增强学生体质,学校增加了体育训练的项目,下面记录了某班5名男生1分钟内引体向上的个数：10,10,10,10,10。
思考 以上数列有什么共同特征？
提示:对于
(1),我们发现44-45=-1,43-44=-1,…,该数列从第二项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数.对于
(2),10-10=0,…,有同样的取值规律(从第二项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数).

答案： 提示:对于
(1),我们发现44-45=-1,43-44=-1,…,该数列从第二项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数.对于
(2),10-10=0,…,有同样的取值规律(从第二项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数).

<题目>
提醒 (1)定义中“从第2项起”的原因是第1项前面没有项,无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合；
(2)定义中“每一项与它的前一项的差”强调了相邻两项且是后项减去前项；
(3)定义中的“同一个常数”是指全部的后项减去前一项都等于常数d。

答案： ①2 ②前一项 ③同一个常数 ④常数 ⑤d

例1 判断下列数列是不是等差数列。如果是,写出它的公差。
(1)$\dfrac{1}{2}$,1,$\dfrac{3}{2}$,2,$\dfrac{5}{2}$；(2)4,2,0,-2,-4；(3)2,4,5,6,7；(4)1,$\sqrt{2}$,$\sqrt{3}$,2,$\sqrt{5}$。
【解】
(1)由等差数列的定义可知,数列$\frac{1}{2},1,\frac{3}{2},2,\frac{5}{2}$是公差为$\frac{1}{2}$的等差数列.
(2)由等差数列的定义可知,数列4,2,0,-2,-4是公差为-2的等差数列.
(3)由等差数列的定义可知,数列2,4,5,6,7不是等差数列.
(4)由等差数列的定义可知,数列$1,\sqrt{2},\sqrt{3},2,\sqrt{5}$不是等差数列.

答案： 【解】
(1)由等差数列的定义可知,数列$\frac{1}{2},1,\frac{3}{2},2,\frac{5}{2}$是公差为$\frac{1}{2}$的等差数列.
(2)由等差数列的定义可知,数列4,2,0,-2,-4是公差为-2的等差数列.
(3)由等差数列的定义可知,数列2,4,5,6,7不是等差数列.
(4)由等差数列的定义可知,数列$1,\sqrt{2},\sqrt{3},2,\sqrt{5}$不是等差数列.