《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第二册人教版青海专用》

[跟踪训练 2] 求下列函数的导数：
(1) $ y = \frac{1}{\sqrt{1 - 2x}} $；
(2) $ y = 5\log_2(1 - x) $；
(3) $ y = \sin^4 x + \cos^4 x $。
(1) $y^\prime=(1 - 2x)^{-\frac{3}{2}}$；(2) $y^\prime=-\frac{5}{(1 - x)\ln2}$；(3) $y^\prime=-\sin(4x)$。

答案： 1. （1）
解：设$u = 1 - 2x$，则$y = u^{-\frac{1}{2}}$。
先对$y$关于$u$求导：$y^\prime_u=-\frac{1}{2}u^{-\frac{3}{2}}$。
再对$u$关于$x$求导：$u^\prime_x=-2$。
根据复合函数求导公式$y^\prime_x = y^\prime_u\cdot u^\prime_x$，可得$y^\prime_x=-\frac{1}{2}(1 - 2x)^{-\frac{3}{2}}×(-2)=(1 - 2x)^{-\frac{3}{2}}$。
2. （2）
解：设$u = 1 - x$，则$y = 5\log_2u$。
先对$y$关于$u$求导：$y^\prime_u=\frac{5}{u\ln2}$。
再对$u$关于$x$求导：$u^\prime_x=-1$。
根据复合函数求导公式$y^\prime_x = y^\prime_u\cdot u^\prime_x$，可得$y^\prime_x=\frac{5}{(1 - x)\ln2}×(-1)=-\frac{5}{(1 - x)\ln2}$。
3. （3）
解：先对$y=\sin^{4}x+\cos^{4}x$进行变形：
$y = (\sin^{2}x+\cos^{2}x)^{2}-2\sin^{2}x\cos^{2}x$，因为$\sin^{2}x+\cos^{2}x = 1$，所以$y = 1-\frac{1}{2}\sin^{2}(2x)$，再设$u = 2x$，$v=\sin u$，$y = 1-\frac{1}{2}v^{2}$。
先对$y$关于$v$求导：$y^\prime_v=-v$。
对$v$关于$u$求导：$v^\prime_u=\cos u$。
对$u$关于$x$求导：$u^\prime_x = 2$。
根据复合函数求导公式$y^\prime_x=y^\prime_v\cdot v^\prime_u\cdot u^\prime_x$，可得$y^\prime_x=- \sin(2x)\cos(2x)×2=-\sin(4x)$。
综上，（1）$y^\prime=(1 - 2x)^{-\frac{3}{2}}$；（2）$y^\prime=-\frac{5}{(1 - x)\ln2}$；（3）$y^\prime=-\sin(4x)$。

[例 3] 已知函数 $ f(x) = \frac{a}{x}\ln(2x) $ 的图象在 $ x = \frac{1}{2} $ 处的切线与直线 $ y = 3x + 5 $ 垂直,则 $ a = $(B)
A.$ -\frac{1}{6} $
B.$ -\frac{1}{12} $
C.$ \frac{1}{6} $
D.$ \frac{1}{12} $

答案： B

[例 4](对接教材例 7)某港口在一天 24 小时内的潮水的高度近似满足关系 $ s(t) = 3\sin(\frac{\pi}{12}t + \frac{5\pi}{6}) $($ 0\leq t\leq 24 $),其中 $ s $ 的单位是 $ m $,$ t $ 的单位是 $ h $,求函数在 $ t = 18h $ 时的导数,并解释它的实际意义。
解：
根据复合函数求导公式$(\sin u)^\prime = \cos u\cdot u^\prime$，对于$s(t)=3\sin(\frac{\pi}{12}t+\frac{5\pi}{6})$，令$u = \frac{\pi}{12}t+\frac{5\pi}{6}$，则$s(t)=3\sin u$。
先对$s(t)$求导：
$s^\prime(t)=(3\sin u)^\prime\cdot u^\prime$
因为$(\sin u)^\prime=\cos u$，$u^\prime = (\frac{\pi}{12}t+\frac{5\pi}{6})^\prime=\frac{\pi}{12}$，所以$s^\prime(t)=3\cos u\cdot\frac{\pi}{12}=\frac{\pi}{4}\cos(\frac{\pi}{12}t+\frac{5\pi}{6})$。
当$t = 18$时，$s^\prime(18)=\frac{\pi}{4}\cos(\frac{\pi}{12}×18+\frac{5\pi}{6})$
$=\frac{\pi}{4}\cos(\frac{3\pi}{2}+\frac{5\pi}{6})$
$=\frac{\pi}{4}\cos(\frac{9\pi + 5\pi}{6})$
$=\frac{\pi}{4}\cos\frac{14\pi}{6}$
$=\frac{\pi}{4}\cos\frac{7\pi}{3}$
$=\frac{\pi}{4}\cos(2\pi+\frac{\pi}{3})$
根据$\cos(A + 2k\pi)=\cos A$（$k\in Z$），这里$k = 1$，$A=\frac{\pi}{3}$，所以$\frac{\pi}{4}\cos(2\pi+\frac{\pi}{3})=\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{3}$
又因为$\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}$，所以$s^\prime(18)=\frac{\pi}{4}×\frac{1}{2}=\frac{\pi}{8}(m/h)$。
实际意义：它表示在$t = 18h$时，潮水的高度的变化率为$\frac{\pi}{8}m/h$，即此时潮水高度每经过$1$小时大约上升$\frac{\pi}{8}m$。

答案： 解：
根据复合函数求导公式$(\sin u)^\prime = \cos u\cdot u^\prime$，对于$s(t)=3\sin(\frac{\pi}{12}t+\frac{5\pi}{6})$，令$u = \frac{\pi}{12}t+\frac{5\pi}{6}$，则$s(t)=3\sin u$。
先对$s(t)$求导：
$s^\prime(t)=(3\sin u)^\prime\cdot u^\prime$
因为$(\sin u)^\prime=\cos u$，$u^\prime = (\frac{\pi}{12}t+\frac{5\pi}{6})^\prime=\frac{\pi}{12}$，所以$s^\prime(t)=3\cos u\cdot\frac{\pi}{12}=\frac{\pi}{4}\cos(\frac{\pi}{12}t+\frac{5\pi}{6})$。
当$t = 18$时，$s^\prime(18)=\frac{\pi}{4}\cos(\frac{\pi}{12}×18+\frac{5\pi}{6})$
$=\frac{\pi}{4}\cos(\frac{3\pi}{2}+\frac{5\pi}{6})$
$=\frac{\pi}{4}\cos(\frac{9\pi + 5\pi}{6})$
$=\frac{\pi}{4}\cos\frac{14\pi}{6}$
$=\frac{\pi}{4}\cos\frac{7\pi}{3}$
$=\frac{\pi}{4}\cos(2\pi+\frac{\pi}{3})$
根据$\cos(A + 2k\pi)=\cos A$（$k\in Z$），这里$k = 1$，$A=\frac{\pi}{3}$，所以$\frac{\pi}{4}\cos(2\pi+\frac{\pi}{3})=\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{3}$
又因为$\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}$，所以$s^\prime(18)=\frac{\pi}{4}×\frac{1}{2}=\frac{\pi}{8}(m/h)$。
实际意义：它表示在$t = 18h$时，潮水的高度的变化率为$\frac{\pi}{8}m/h$，即此时潮水高度每经过$1$小时大约上升$\frac{\pi}{8}m$。