《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第二册人教版青海专用》

1. 已知 $ f(x) = 3x^{2} + 5 $,则自变量 $ x $ 从 $ 0.1 $ 到 $ 0.2 $ 的平均变化率为(0.9)
A.$ 0.3 $
B.$ 0.9 $
C.$ 0.6 $
D.$ 1.2 $

答案： 解析:选 B. 由Δy=f(0.2)-f(0.1)=0.12+5-0.03-5=0.09,可得平均变化率为$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{0.09}{0.2-0.1}=0.9$.

2. 设函数 $ f(x) = ax + 3 $,若 $ f'(1) = 3 $,则 $ a = $3。

答案： 解析:因为$f'(1)=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}$$=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{a(\Delta x+1)+3-(a+3)}{\Delta x}=a$.又因为$f'(1)=3$,所以$a=3$.答案:3

3. 一物体的运动方程为 $ v(t) = 7t^{2} + 8 $,则其在 $ t = $$\frac{1}{14}$时的瞬时加速度为 $ 1 $。

答案： 解析:设物体在$t=t_{0}$处的瞬时加速度为1.$\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{7(t_{0}+\Delta t)^{2}+8-(7t_{0}^{2}+8)}{\Delta t}=7\Delta t+14t_{0}$,当$\lim\limits_{\Delta t\to0}(7\Delta t+14t_{0})=14t_{0}=1$时,$t_{0}=\frac{1}{14}$.答案:$\frac{1}{14}$

4. 已知函数 $ f(x) $ 可导,且满足 $ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(3) - f(3 + \Delta x)}{\Delta x} = 2 $,则函数 $ y = f(x) $ 在 $ x = 3 $ 处的导数为-2。

答案： 解析:由题意,知$f'(3)=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{f(3+\Delta x)-f(3)}{\Delta x}=-2$.答案:-2

一 导数的几何意义
思考 在前面的课程中我们已经了解到抛物线的切线斜率与函数的瞬时变化率的关系,也知道对于一般的曲线,平均变化率可以代表曲线的割线斜率,那么导数(即瞬时变化率)能代表曲线的切线斜率吗？
提示:能.

答案： 提示:能.