《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第二册人教版青海专用》

跟踪训练1(多选)下列数列中是等差数列的有(BD)
A.-2,-2.2,-2.22,-2.222
B.-2,-1,0,1,2
C.5,8,11,14,16
D.2,2,2,2,2

答案： 解析:选BD. A选项中数列-2.2-(-2)=-0.2,-2.22-(-2.2)=-0.02,不是等差数列;
B选项中数列的公差为1,是等差数列;
C选项中数列8-5=3,16-14=2,不是等差数列;
D选项中数列的公差为0,因此该数列是等差数列.

二 等差中项
思考 若三个数$a$,$b$,$c满足2b = a + c$,则$a$,$b$,$c$一定是等差数列吗？反之,是不是也成立？
提示:若a,b,c满足2b=a+c,即b-a=c-b,故a,b,c为等差数列.反之,若a,b,c成等差数列,则有2b=a+c成立.

答案： 提示:若a,b,c满足2b=a+c,
即b-a=c-b,故a,b,c为等差数列.
反之,若a,b,c成等差数列,则有2b=a+c成立.

<题目>
提醒 (1)任意两个实数都有①等差中项,且唯一。
(2)等差中项的几何意义是两个实数的平均数,即$A = $②$\frac{a+b}{2}$。

答案： ①等差中项 ②$\frac{a+b}{2}$

例2 已知$a + 3是2a - 1和2a + 1$的等差中项,则$3a - 5和4a + 6$的等差中项为11。

答案： 【解析】因为a+3是2a-1和2a+1的等差中项,所以2(a+3)=(2a-1)+(2a+1),解得a=3,则3a-5=4,4a+6=18,所以3a-5和4a+6的等差中项为$\frac{4+18}{2}=11$.
【答案】11

(1)已知$\triangle ABC的三个内角A$,$B$,$C$的度数成等差数列,则$B= $60°。

答案：
(1)解析:因为△ABC的三个内角A,B,C的度数成等差数列,则2B=A+C,又A+B+C=180°,故3B=180°,解得B=60°.
答案:60°

(2)已知$m和2n$的等差中项是8,$2m和n$的等差中项是10,则$m和n$的等差中项是6。

答案：
(2)解析:由题意得$\left\{\begin{array}{l} m+2n=8×2=16,\\ 2m+n=10×2=20,\end{array}\right. $两式相加得3(m+n)=20+16=36,所以m+n=12,所以$\frac{m+n}{2}=6$.
答案:6

三 等差数列的通项公式
思考 试根据等差数列定义中的递推关系：$a{}_{n} - a{}_{n - 1} = d(n\geq 2)$,推导数列$\{a{}_{n}\}$的通项公式。
提示:方法一(累加法):因为$\{ a_{n}\} $是等差数列,
所以当n≥2时,$a_{n}-a_{n-1}=d$,
$a_{n-1}-a_{n-2}=d$,
$a_{n-2}-a_{n-3}=d$,
…
$a_{2}-a_{1}=d$,
上述式子等号两边分别相加得$a_{n}-a_{1}=(n-1)d$,所以$a_{n}=a_{1}+(n-1)d(n≥2)$.
当n=1时,上式也成立.
所以$a_{n}=a_{1}+(n-1)d$.
方法二(迭代法):因为$\{ a_{n}\} $是等差数列,
所以$a_{n}=a_{n-1}+d=a_{n-2}+d+d=a_{n-2}+2d=a_{n-3}+d+2d=a_{n-3}+3d=... =a_{1}+(n-1)d(n≥2)$.
当n=1时,上式也成立.
所以$a_{n}=a_{1}+(n-1)d$.

答案： 提示:方法一(累加法):因为$\{ a_{n}\} $是等差数列,
所以当n≥2时,$a_{n}-a_{n-1}=d$,
$a_{n-1}-a_{n-2}=d$,
$a_{n-2}-a_{n-3}=d$,
…
$a_{2}-a_{1}=d$,
上述式子等号两边分别相加得$a_{n}-a_{1}=(n-1)d$,所以$a_{n}=a_{1}+(n-1)d(n≥2)$.
当n=1时,上式也成立.
所以$a_{n}=a_{1}+(n-1)d$.
方法二(迭代法):因为$\{ a_{n}\} $是等差数列,
所以$a_{n}=a_{n-1}+d=a_{n-2}+d+d=a_{n-2}+2d=a_{n-3}+d+2d=a_{n-3}+3d=... =a_{1}+(n-1)d(n≥2)$.
当n=1时,上式也成立.
所以$a_{n}=a_{1}+(n-1)d$.

等差数列的通项公式
首项为$a{}_{1}$,公差为$d的等差数列\{a{}_{n}\}$的通项公式为$a_{n}=a_{1}+(n-1)d$。
提醒 已知首项$a{}_{1}和公差d$,便可写出通项公式。

答案： $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$

例3(对接教材例1)在等差数列$\{a_{n}\}$中,
(1)已知$a_{2} = 31$,$a_{7} = 76$,求$a_{1}$,$d$；
(2)已知$a_{1} = 3$,$a_{n} = 21$,$d = 2$,求$n$；
(3)已知$d = -\dfrac{1}{3}$,$a_{7} = 8$,求$a_{1}和a_{n}$。
【解】
(1)在等差数列$\{ a_{n}\} $中,由$a_{2}=31,a_{7}=76$得,$\left\{\begin{array}{l} a_{1}+d=31,\\ a_{1}+6d=76,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} a_{1}=22,\\ d=9.\end{array}\right. $
(2)由$a_{n}=a_{1}+(n-1)d$得3+2(n-1)=21,解得n=10.
(3)由$a_{7}=a_{1}+6d$得$a_{1}-2=8$,解得$a_{1}=10$,所以$a_{n}=a_{1}+(n-1)d=10-\frac{1}{3}(n-1)=-\frac{1}{3}n+\frac{31}{3}$.

答案： 【解】
(1)在等差数列$\{ a_{n}\} $中,由$a_{2}=31,a_{7}=76$得,$\left\{\begin{array}{l} a_{1}+d=31,\\ a_{1}+6d=76,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} a_{1}=22,\\ d=9.\end{array}\right. $
(2)由$a_{n}=a_{1}+(n-1)d$得3+2(n-1)=21,解得n=10.
(3)由$a_{7}=a_{1}+6d$得$a_{1}-2=8$,解得$a_{1}=10$,所以$a_{n}=a_{1}+(n-1)d=10-\frac{1}{3}(n-1)=-\frac{1}{3}n+\frac{31}{3}$.