《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第二册人教版青海专用》

[跟踪训练 3] (1)已知函数 $ f(x) = \sin 2x $,则曲线 $ f(x) $ 在 $ x = \frac{\pi}{3} $ 处的切线的斜率为-1。

答案： -1

(2)若曲线 $ y = e^{\sin x} $ 在 $ (0,1) $ 处的切线与直线 $ l $ 平行,且与 $ l $ 的距离为 $ \sqrt{2} $,求直线 $ l $ 的方程。
$x - y - 1 = 0$或$x - y + 3 = 0$

答案： 1. 首先求曲线$y = e^{\sin x}$在$(0,1)$处的切线斜率：
根据复合函数求导公式$(e^{u})^\prime=e^{u}\cdot u^\prime$，令$u = \sin x$，则$y^\prime=(e^{\sin x})^\prime=e^{\sin x}\cdot(\sin x)^\prime$。
因为$(\sin x)^\prime=\cos x$，所以$y^\prime = e^{\sin x}\cos x$。
当$x = 0$时，$y^\prime|_{x = 0}=e^{\sin0}\cos0$。
由于$\sin0 = 0$，$\cos0 = 1$，$e^{0}=1$，所以$y^\prime|_{x = 0}=1$。
根据点 - 斜式方程$y - y_{0}=k(x - x_{0})$（其中$(x_{0},y_{0})=(0,1)$，$k = 1$），曲线$y = e^{\sin x}$在$(0,1)$处的切线方程为$y - 1=1×(x - 0)$，即$x - y+1 = 0$。
2. 然后设直线$l$的方程为$x - y + c = 0$（$c\neq1$）：
根据两平行直线$Ax+By + C_{1}=0$与$Ax + By + C_{2}=0$（这里$A = 1$，$B=-1$，$C_{1}=1$，$C_{2}=c$）的距离公式$d=\frac{\vert C_{1}-C_{2}\vert}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$。
已知$d=\sqrt{2}$，$A = 1$，$B=-1$，则$\sqrt{2}=\frac{\vert1 - c\vert}{\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}}$。
因为$\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{2}$，所以$\vert1 - c\vert=2$。
则$1 - c = 2$或$1 - c=-2$。
当$1 - c = 2$时，解得$c=-1$；当$1 - c=-2$时，解得$c = 3$。
所以直线$l$的方程为$x - y - 1 = 0$或$x - y+3 = 0$。

1. 函数 $ y = (x^{2} - 1)^{n} $ 的复合过程正确的是(A)
A.$ y = u^{n} $,$ u = x^{2} - 1 $
B.$ y = (u - 1)^{n} $,$ u = x^{2} $
C.$ y = t^{n} $,$ t = (x^{2} - 1)^{n} $
D.$ y = (t - 1)^{n} $,$ t = x^{2} - 1 $

答案： A

2. 已知 $ f(x) = \sin 2x + e^{2x} $,则 $ f'(x) = $(A)
A.$ 2\cos 2x + 2e^{2x} $
B.$ \cos 2x + e^{2x} $
C.$ 2\sin 2x + 2e^{2x} $
D.$ \sin 2x + e^{2x} $

答案： 解析:选A.因为$f(x)=\sin 2x + e^{2x}$,所以$f'(x)=2\cos 2x + 2e^{2x}$,故选A.

3. 曲线 $ y = \sin^{2}x $ 在点 $ A(\frac{\pi}{6}, \frac{1}{4}) $ 处的切线的斜率是$\frac{\sqrt{3}}{2}$。

答案： 解析:因为$y'=(\sin^{2}x)'=2\sin x(\sin x)'=2\sin x\cos x=\sin 2x$,所以$y'|_{x=\frac{\pi}{6}}=\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$,所以曲线在点$A\left(\frac{\pi}{6},\frac{1}{4}\right)$处的切线的斜率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$.答案:$\frac{\sqrt{3}}{2}$

4. 已知某质点的位移 $ s $ 与移动时间 $ t $ 满足 $ s = t^{2}e^{t - 2} $,则质点在 $ t = 2 $ 时的瞬时速度是8。

答案： 解析:由$s=t^{2}e^{t-2}$,得$s'=2te^{t-2}+t^{2}e^{t-2}$,当$t=2$时,$s'=2×2× e^{2-2}+2^{2}× e^{2-2}=8$,所以质点在$t=2$时的瞬时速度是8.答案:8

1. 下列求导运算正确的是 (D)
A.$(\frac{1}{\ln x})' = x$
B.$(x^{2}e^{x})' = 2x + e^{x}$
C.$(x\cos x)' = -\sin x$
D.$(x - \frac{1}{x})' = 1 + \frac{1}{x^{2}}$

答案： 1.解析:选D.对于A，$(\frac{1}{\ln x})'=-\frac{1}{\ln^2 x}\cdot (\ln x)'=-\frac{1}{x\ln^2 x}$，故A错误；对于B，$(x^2e^x)'=(x^2+2x)e^x$，故B错误；对于C，$(x\cos x)'=\cos x-x\sin x$，故C错误；对于D，$(x-\frac{1}{x})'=1+\frac{1}{x^2}$，故D正确.

2. 已知函数 $f(x)$ 的导函数为 $f'(x)$,且满足 $f(x) = x^{3} + x^{2}f'(1) + 2x - 1$,则 $f'(2) = $ (C)
A.1
B.-9
C.-6
D.4

答案： 2.解析:选C.因为$f(x)=x^3+x^2f'(1)+2x-1$，所以$f'(x)=3x^2+2xf'(1)+2$，把$x=1$代入$f'(x)$，得$f'(1)=3×1^2+2f'(1)+2$，解得$f'(1)=-5$，所以$f'(x)=3x^2-10x+2$，所以$f'(2)=-6$.