《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第二册人教版青海专用》

应用点 等差数列的实际应用
例 3
(对接教材例 3)在通常情况下,从海平面到$10\ km$高空,海拔每增加$1\ km$,气温就下降一固定数值.如果海拔$1\ km高空的气温是9\ ^{\circ}C$,海拔$5\ km高空的气温是-15\ ^{\circ}C$,那么海拔$8\ km$高空的气温是多少？
解:设海拔$n$km高空的气温为$a_{n}^{\circ}C(1\leq n\leq10)$,则$\{ a_{n}\} $成等差数列,且$a_{1} = 9,a_{5} = - 15$,设公差为$d$,由$a_{5}=a_{1}+4d = 9 + 4d = - 15$,得$d = - 6$,所以$a_{n}=-6n + 15$,所以$a_{8}=-6×8 + 15 = - 33$,所以海拔8km高空的气温是$-33^{\circ}C$.

答案： 解:设海拔$n$km高空的气温为$a_{n}^{\circ}C(1\leq n\leq10)$,则$\{ a_{n}\} $成等差数列,且$a_{1} = 9,a_{5} = - 15$,设公差为$d$,由$a_{5}=a_{1}+4d = 9 + 4d = - 15$,得$d = - 6$,所以$a_{n}=-6n + 15$,所以$a_{8}=-6×8 + 15 = - 33$,所以海拔8km高空的气温是$-33^{\circ}C$.

某公司经销一种数码产品,第$1年可获利200$万元.从第$2$年起,由于市场竞争等方面的原因,其利润每年比上一年减少$20$万元,按照这一规律,如果公司不开发新产品,也不调整经营策略,那么从哪一年起,该公司经销这一产品将亏损？
解:设第$n$年的利润为$a_{n}$万元,则$a_{1} = 200,a_{n + 1}-a_{n}=-20(n\in N^{*})$,所以每年的利润构成一个等差数列$\{ a_{n}\} $,设公差为$d$,从而$a_{n}=a_{1}+(n - 1)d = 200+(n - 1)×(-20)=220 - 20n$.若$a_{n}＜0$,则该公司经销这一产品将亏损.所以由$a_{n}=220 - 20n＜0$,得$n＞11$,即从第12年起,该公司经销这一产品将亏损.

答案： 解:设第$n$年的利润为$a_{n}$万元,则$a_{1} = 200,a_{n + 1}-a_{n}=-20(n\in N^{*})$,所以每年的利润构成一个等差数列$\{ a_{n}\} $,设公差为$d$,从而$a_{n}=a_{1}+(n - 1)d = 200+(n - 1)×(-20)=220 - 20n$.若$a_{n}＜0$,则该公司经销这一产品将亏损.所以由$a_{n}=220 - 20n＜0$,得$n＞11$,即从第12年起,该公司经销这一产品将亏损.

1. 已知在数列$\{ a_{n}\}$中,$a_{1}= 1$,$a_{n + 1}-3 = a_{n}$,若$a_{n}= 211$,则$n=$(71)
A.$69$
B.$70$
C.$71$
D.$72$

答案： 选 C. 由题意可知,$a_{n+1}-a_{n}=3$,所以数列$\{ a_{n}\} $是公差为3 的等差数列,$a_{n}=1+(n-1)×3=211$,得$n=71$. 故选 C.

2. (多选)下列数列中是等差数列的有(ABD)
A.$a - d$,$a$,$a + d$
B.$2$,$4$,$6$,$8$,…$$,$2(n - 1)$,$2n$
C.$a - 2d$,$a - d$,$a + d$,$a + 2d(d\neq 0)$
D.$a_{n - 1}= a_{n}-\frac{1}{2}(n\in \mathbf{N}^{*},n\gt 1)$

答案： 选 ABD. 对于 A 选项,由于$(a+d)-a=a-(a-d)=d$,故是等差数列,故 A 正确;对于 B 选项,2,4,6,8,…,$2(n-1),2n$中,$2n-2(n-1)=2$,是等差数列,故 B 正确;对于 C 选项,因为$a-d-(a-2d)=d,(a+d)-(a-d)=2d$,又$d≠0$,即第3项与第2项的差不等于第2项与第1项的差,不是等差数列,故 C 错误;对于 D 选项,由$a_{n-1}=a_{n}-\frac {1}{2}(n∈N^{*},n＞1)$得$a_{n}-a_{n-1}=\frac {1}{2}(n∈N^{*},n＞1)$,满足等差数列定义,故 D 正确. 故选 ABD.

3. 假设体育场一角看台的座位从第$2$排起每一排都比前一排多相等数目的座位。若第$3排有10$个座位,第$9排有28$个座位,则第$12$排有37个座位。

答案： 由题意可知,体育场该角看台的每排座位数成等差数列,设为$\{ a_{n}\} $,公差为 d,则$a_{3}=10,a_{9}=28.$由通项公式可得$\left\{\begin{array}{l} a_{1}+2d=10,\\ a_{1}+8d=28,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} a_{1}=4,\\ d=3,\end{array}\right. $所以$a_{12}=4+(12-1)×3=37.$故体育场该角看台的第 12 排有 37 个座位.答案:37