《2025年学生基础性作业七年级数学上册人教版》

5. 观察下列各式：① $ 3×5 = 4^2 - 1 $；② $ 5×7 = 6^2 - 1 $；③ $ 7×9 = 8^2 - 1 \cdots \cdots $ 请利用上述规律表示出第 $ n $($ n $ 为正整数)个式子为：(2n+1)(2n+3)=(2n+2)²-1（n为正整数）.
6. 我们来一起阅读《庄子》中的一篇经典文章.
原文：飞鸟之景未尝动也. 镞矢之疾，而有不行不止之时. 狗非犬. 黄马骊牛三. 白狗黑. 孤驹未尝有母. 一尺之棰，日取其半，万世不竭.
其中最后一句 “一尺之棰，日取其半，万世不竭” 可理解为 “一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完”.
若假设一根木棍长 $ a m $，每次截掉一半.
(1) 分别写出第 1，2，3，4 次截取后木棍剩下的长度；
(2) 请用代数式表示第 $ n $ 次截取后木棍剩下的长度.

答案： 5. (2n+1)(2n+3)=(2n+2)²-1（n为正整数）；6.（1）$\frac{1}{2}a\ m$，$\frac{1}{4}a\ m$，$\frac{1}{8}a\ m$，$\frac{1}{16}a\ m$；（2）$(\frac{1}{2})^{n}a\ m$.

7. 我们在生活中经常使用的数是十进制数，如 $ 2639 = 2×10^3 + 6×10^2 + 3×10^1 + 9 $，表示十进制的数要用到 10 个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9. 计算机中常用的十六进制是逢 16 进 1 的计数制，采用数字 $ 0 \sim 9 $ 和字母 $ A \sim F $ 共 16 个计数符号表示，这些符号与十进制的对应关系如下表：
例如：十六进制数 $ 71B = 7×16^2 + 1×16^1 + 11 = 1819 $，即十六进制数 $ 71B $ 相当于十进制数 1819. 那么十六进制数 $ 2D6 $ 相当于十进制数.
8. 将黑色圆点按如图所示的规律进行排列：

图中黑色圆点的个数依次为 1，3，6，10，…，将其中所有能被 3 整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第 25 个数为.

答案： 7. 2D6中，十六进制的2对应十进制2，D对应13，6对应6。
计算：2×16² + 13×16¹ + 6×16⁰ = 2×256 + 13×16 + 6×1 = 512 + 208 + 6 = 726。
8. 圆点个数为三角形数，公式为aₙ = n(n+1)/2。能被3整除时，n≡0或2 mod 3，即n=2,3,5,6,8,9,...，每2个数为一组（n=3m-1,3m）。第25个数为第13组第1个数，n=3×13-1=38。
a₃₈ = 38×39/2 = 741。
726
741