《2025年学生基础性作业七年级数学上册人教版》

10. 【概念学习】
某数学兴趣小组的同学类比乘方的学习过程开展了进一步的探究学习.
规定：求若干个相同的非$0$有理数的商的运算叫作除方，比如$2÷2÷2$，$(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)$等，类比有理数的乘方，把$2÷2÷2$写作$2^{③}$，读作“$2$的圈$3$次方”，$(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)$写作$(-3)^{④}$，读作“$-3$的圈$4$次方”. 一般地，把$\underbrace{a÷ a÷ a÷\cdots÷ a}_{n个a}$($a\neq0$)写作$a^{ⓝ}$，读作“$a$的圈$n$次方”.
(1) 直接写出计算结果：$2^{②} = $，$\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{③} = $.
【迁移应用】
(2) 在探究过程中他们想到，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算也应该可以转化为乘方运算，如：

$\boxed{除方} \to \boxed{2^{④}=2÷2÷2÷2=2×\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{2}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2} \to \boxed{乘方幂的形式}$
① 仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成乘方幂的形式：
$(-3)^{⑤} = $，$\left(\dfrac{1}{5}\right)^{⑥} = $.
② 计算$\left(-\dfrac{1}{3}\right)^{④}×(-2)^{⑤}$.

答案：
(1) $2^{\circledast 2}=2÷2=1$；$\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{\circledast 3}=\left(-\dfrac{1}{2}\right)÷\left(-\dfrac{1}{2}\right)÷\left(-\dfrac{1}{2}\right)=1÷\left(-\dfrac{1}{2}\right)=-2$。
(2) ① $(-3)^{\circledast 5}=(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)=(-3)×\left(-\dfrac{1}{3}\right)×\left(-\dfrac{1}{3}\right)×\left(-\dfrac{1}{3}\right)×\left(-\dfrac{1}{3}\right)=\left(-\dfrac{1}{3}\right)^3$；$\left(\dfrac{1}{5}\right)^{\circledast 6}=\dfrac{1}{5}÷\dfrac{1}{5}÷\dfrac{1}{5}÷\dfrac{1}{5}÷\dfrac{1}{5}÷\dfrac{1}{5}=\dfrac{1}{5}×5×5×5×5×5=5^4$。
② $\left(-\dfrac{1}{3}\right)^{\circledast 4}×(-2)^{\circledast 5}$
$=\left[\left(-\dfrac{1}{3}\right)÷\left(-\dfrac{1}{3}\right)÷\left(-\dfrac{1}{3}\right)÷\left(-\dfrac{1}{3}\right)\right]×\left[(-2)÷(-2)÷(-2)÷(-2)÷(-2)\right]$
$=\left[1÷\left(-\dfrac{1}{3}\right)÷\left(-\dfrac{1}{3}\right)\right]×\left[1÷(-2)÷(-2)÷(-2)\right]$
$=9×\left(-\dfrac{1}{8}\right)=-\dfrac{9}{8}$。
(1) $1$；$-2$
(2) ① $\left(-\dfrac{1}{3}\right)^3$；$5^4$ ② $-\dfrac{9}{8}$