《2025年名师面对面学科素养评价九年级数学全一册浙教版》

18.阅读下列材料,并完成相应的任务.初中阶段,我们所学的锐角三角函数反映了直角三角形中的边角关系:
sin α=$\frac{BC}{AC}$,cos α=$\frac{AB}{AC}$,tan α=$\frac{BC}{AB}$.
一般地,当α,β为任意角时,sin(α+β)与sin(α-β)的值可以用下面的公式求得:
sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β,
sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.
例如,sin 15°=sin(45°-30°)=sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.
根据上述材料内容,解决下列问题:
(1)计算:sin 75°=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$.
(2)在Rt△ABC中,∠A=75°,∠C=90°,AB=4.请你求出AC和BC的长.

答案： 18.解:
(1)sin75°=sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin45°=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$。
(2)Rt△ABC中，
∵sin∠A=sin75°=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$，
∴BC=AB×$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$=4×$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$=$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$，
∵∠B=90°−∠A,
∴∠B=15°，
∵sin∠B=sin15°=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，
∴AC=AB×$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$。