《2025年名师面对面学科素养评价九年级数学全一册浙教版》

15. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，点 $ D $ 在边 $ AC $ 上，且 $ \angle ABD = \angle C $.
(1) 求证: $ \triangle ADB \sim \triangle ABC $.
(2) 若 $ AD = 4 $，$ AC = 9 $，求 $ AB $ 的长.

答案： 15.
(1)证明:
∵∠ABD=∠C，∠A=∠A，
∴△ADB∽△ABC.
(2)解:
∵△ADB∽△ABC，
∴$\frac{AB}{AD}$=$\frac{AC}{AB}$，
即AB²=AC·AD，
∵AD=4，AC=9，
∴AB²=4×9=36，
∴AB=6.

16. 如图，在矩形 $ ABCD $ 中，$ AD = kAB $($ k ＞ 0 $)，点 $ E $ 是线段 $ CB $ 延长线上的一个动点，连结 $ AE $，过点 $ A $ 作 $ AF \perp AE $ 交射线 $ DC $ 于点 $ F $.
(1) 如图 1，若 $ k = 1 $，则 $ AF $ 与 $ AE $ 之间的数量关系是AF=AE.
(2) 如图 2，若 $ k \neq 1 $，试判断 $ AF $ 与 $ AE $ 之间的数量关系，写出结论并证明.(用含 $ k $ 的式子表示)

答案： 16.
(1)AF=AE.
(2)AF=kAE.证明:
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ABC=∠ADF=90°，
∴∠FAD+∠FAB=90°，
∵AF⊥AE，
∴∠EAF=90°，
∴∠EAB+∠FAB=90°，
∴∠EAB=∠FAD，
∵∠ABE=180°−∠ABC=90°，
∴∠ABE=∠ADF.
∴△ABE∽△ADF，
∴$\frac{AB}{AD}$=$\frac{AE}{AF}$，
∵AD=kAB，
∴AF=kAE.