《2025年名师面对面学科素养评价九年级数学全一册浙教版》

16. 在平面直角坐标系 $ xOy $ 中, 二次函数 $ y = x^2 - 2mx + 1 $ 的图象与 $ y $ 轴的交点为 $ A $, 将点 $ A $ 向右平移 4 个单位长度, 向上平移 1 个单位长度得到点 $ B $.
(1) 直接写出点 $ A $ 的坐标为(0,1), 点 $ B $ 的坐标为(4,2).
(2) 若函数 $ y = x^2 - 2mx + 1 $ 的图象与线段 $ AB $ 恰有一个公共点, 求 $ m $ 的取值范围.

答案：
16.解:
(1)$(0,1)$，$(4,2)$。
　　　　　　
(2)设线段$AB$解析式为$y = ax + b(0 \leq x \leq 4)$，代入$A$，$B$两点坐标，可得：$y = \frac{1}{4}x + 1(0 \leq x \leq 4)$。
∵两个图象只有一个公共点，则$x^{2} - 2mx + 1 = \frac{1}{4}x + 1$仅有一根，即$x^{2} = (2m + \frac{1}{4})x$，在$0 \leq x \leq 4$之间仅有一根，
∴$4 ＜ 2m + \frac{1}{4}$或$2m + \frac{1}{4} \leq 0$，即$m \leq - \frac{1}{8}$或$m ＞ \frac{15}{8}$。

17. 某电商销售某种商品一段时间后, 发现该商品每天的销售量 $ y $ (千克) 和每千克的售价 $ x $ (元) 满足一次函数关系 (如图所示), 其中 $ 50 \leq x \leq 80 $.
(1) 求 $ y $ 关于 $ x $ 的函数表达式.
(2) 若该种商品的成本为每千克 40 元, 该电商如何定价才能使每天获得的利润最大? 最大利润是多少?

答案： 17.解:
(1)$y = - 2x + 200(50 \leq x \leq 80)$。
(2)设电商每天获得的利润为$w$元，则$w = (x - 40)( - 2x + 200) = - 2x^{2} + 280x - 8000 = - 2(x - 70)^{2} + 1800$，
∵$- 2 ＜ 0$，且对称轴是直线$x = 70$，又
∵$50 \leq x \leq 80$，
∴当$x = 70$时，$w$取得最大值为$1800$。
答:该电商售价为$70$元时获得最大利润，最大利润是$1800$元。